Le K

moyenne et de l’autocovariance Processus MA(q) Processus linéaires Stationnarité au sens large: SSL Définition 2.1 Un processus Xt est dit stationnaire au sens large (SSL) si:  ∀t ∈ Z, E(Xt2 ) < ∞  t → µt = E(Xt ) est constante,  ∀k , t ∈ Z, γ(k ) = Cov (Xt , Xt+k ) est indépendante de t Fouad Marri Séries chronologiques 9 / 88 Chap. 1. Généralités sur les séries chronologiques Chap. 2. Processus stationnaires Chap. 3. Modèles de processus stochastiques Estimation de la moyenne

réel de degré q ≥ 1, de factorisation réduite 15) : r s (X − tk )mk Q = aq k=1 15) voir Corollaire 1.3.21 2 de polynômes et fractions rationnelles : r, s ∈ N sont des entiers naturels non tous deux nuls. ((X − bk )2 + c2k )νk Si l’un est nul le produit correspondant s’interprette comme 1. l=1 Si r ≥ 1m1 , . . . , mr ∈ N \ {0} et pour 1 ≤ i = k ≤ r ti = tk ∈ R. alors il y a un polynôme réel E ∈ R[X] et pour 1 ≤ k ≤ r, 1 ≤ l ≤ s et 1 ≤ m ≤ mk , 1 ≤ n ≤ νl des nombres réels Si s ≥ 1ν1 , .

Événeme 10.00 0 nts Demande gain 10 K€ de 10.000 Demande gain 10 K€ de 20.000 Demande gain 10 K€ de 30.000 Demande gain 10 K€ de 40.000 Demande gain 10 K€ de 50.000 Achat de 30.00 0 Pas de gain gain gain 20 K€ 15 K€ Achat de 20.00 0 gain 5 K€ Achat de 40.00 0 perte 5 K€ Achat de 50.00 0 perte 10 K€ gain gain 10 K€ 5 K€ gain gain gain gain 20 K€ 30 K€ 25 K€ 20 K€ gain gain gain gain 20 K€ 30 K€ 40 K€ 35 K€ gain gain gain gain 20 K€ 30 K€ 40 K€ 50 K€ 10 2.1 – LES CRITERES DE DECISION

égale à Fe = 1/Te, et que son module était pair. D'un point de vue mathématique la transformée de Fourier X1(f) des échantillons x(nTe), appelée transformée de Fourier numérique, s'écrit : X1( f ) = k =∞ ∑ x( k ) e− jωkTe (2) k =−∞ NB : pour simplifier l'écriture on écrit x(k) à la place de x(kTe), ce qui sous entend un échantillonnage à la fréquence Fe = 1/Te. On vérifie bien que X1(f) est une fonction périodique de période Fe, en effet si on remplace f par (f+MFe) on obtient

Intégration Continuité uniforme Dans tout le chapitre I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point. La lettre K désigne indifféremment le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. On rappelle que F(I, K) est l’ensemble des fonctions définies sur I et à valeurs dans K. Définition 20.1.1 (uniforme continuité) Soit f un élément de F(I, K). On dit que f est uniformément continue sur I si : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x, y) ∈ I × I, |x − y| δ ⇒ |f (x) − f (y)| ε . La définition

= ! u +! v alors 2 k! u +! vk 2 k! uk 2 On s’intéresse à l’expression k! u +! vk ! ! vecteurs quelconque u ; v : 1 2 k! vk =0 k! uk 2 k! v k pour deux 2 1 Di¤érentes expressions du produit scalaire de deux vecteurs C D r v r r u+v θ θ A r u H B On a : 2 k! u +! vk AH 2 + HD2 AB 2 (AH 2 2 k! uk k! vk BH 2 + HD2 BH) (AH + BH) = AD2 = AH 2 AB 2 = AB 2 BH 2 AC 2 = AB 2 = 2AB:BH Remarquons que BH = BD cos = AC cos et donc 2 2 2 k! u +! vk k! uk k! v k = 2AB:AC cos Faire

Proposition 2.15 (Lien Binomiale-Poisson) Soit (pn )n≥0 une suite de réels compris entre 0 et 1 telle que limn→∞ npn = λ > 0. Pour tout n ≥ 0, soit Xn une variable aléatoire de loi binomiale B(n, pn ), alors : ∀k ∈ Æ Preuve. Voir le corrigé de l’exercice 2.6. 5 È(Xn = k) − −→ e−λ − n→∞ λk . k! Figure 2.9 – Loi binomiale B(50, 1/20) et loi de Poisson P(2.5). Ainsi, pour aller vite, lorsque n est grand, on a B(n, pn ) ≈ P(npn ). Plus précisément, on dit que (Xn )n≥0 converge en loi vers une variable

Question N°1 Equation de récurrence Y(k) = a1*Y(k-1)+b1*U(k-1)+b2*U(k-2); Question N°2 %nombre d'échantillons N=1000; %génération du signal aléatoire SigAlea=rand([1,N])-0.5 ; A=mean(SigAlea); Question N°3 Visualisation du signal aléatoire généré On a bien un signal aléatoire de valeur moyenne nulle . La moyenne étant de -0.00362 [pic] Question 4 u_sbpa=1:10; u_sbpa=(-1).^u_sbpa; for k=11:N u_sbpa(k)=-u_sbpa(k-7)*u_sbpa(k-10); end Question 5 Visualisation

Feuille d’exercices 11 Polynômes Définitions 1. Calculer le degré et le coefficient dominant de : (a) X 3 − 3iX + X ( X − 2 + i )2 (b) ( X − 2)n − ( X + 1)n (c) n k =0 ∏ ( X k − 2k ) P( X 2 ) = X 2 P 2. Résoudre dans K[ X ] On commencera par trouver une condition nécessaire sur le degré d’une solution. 3. POur n ∈ N∗ on pose Pn = 1 ( X + i )2n+1 − ( X − i )2n+1 2i . Montrer que Pn ∈ R[ X ], calculer son degré, son coefficient dominant (et ses racines). Division euclidienne 4. Calculer

on a qx 6= qy puisque Jx \ Jy = ;. Donc l’ application x 7! qx est une bijection de E sur une partie de Q. Comme Q est dénombrable, alors E l’ aussi. Il existe f : E ! N est une injection. Prenons ]ck ; dk [= ;; 8k 2 Nnf (E), et ck := af 1 (k) ; dk := bf 1 (k) ; 8k 2 f (E). O = [k2N ]ck ; dk [ avec les ]ck ; dk [ disjoints deux à deux, mais éventuellement vides 1.2 1.2.1 La droite réelle achevée Dé…nition La droite réelle achevée est l’ ensemble R := [ 1; +1] = R [ f 1; +1g muni des structures