Lelecteur Rationnel

Cours Java Récapitulatif sur le traitement des chaînes de caractères STRING Les chaînes littérales de Java "abc", sont représentées comme des instances de cette classe. La classe String est une classe spéciale : • les chaînes de caractères (String) peuvent se concaténer à l’aide de l’opérateur +. • les instances peuvent ne pas être créées explicitement String s = "abc" ; au lieu de String s = new String("abc") ; Constructeurs Construit la chaîne vide Construit une chaîne de caractères à partir

Les ensembles de nombres Ensemble Symbole Description de nombres Naturels ℕ IN {0, 1, 2, 3, ...} – – Entiers ℤ Z {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...} Rationnels ℚ Nombres dont le développement décimal est fini ou périodique. Irrationnels ℚ’ Nombres dont le développement décimal est infini et non périodique. Réels ℝ Nombres qui appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ou irrationnels. 5, 17, 105 et 2688 – – 12, 9, 7 et 916  3, 2 , 11 , -2, 1 , 3 7 5, 2, - 3 et  4 19, 5 , 3, 11 et 26, 3 

F:x 1 3 ---- sin 3 x + -- sin x ; G : x 12 4 1 1 1 ---- cos 5 x – ---- cos 3 x – -- cos x . 80 48 8 ➠ Voir Exercice 3.1.A.2 à la fin de la séquence c) Pour déterminer les primitives d’une fonction rationnelle, il est parfois nécessaire de décomposer la fraction rationnelle en éléments simples. Illustration Déterminer des primitives de la fonction f : x 2x2 + x + 3 ------------------------- . ( x + 1 )2 f (on commencera par déterminer les trois réels a, b et c tels que, pour

| | 1 √3 2 Pas de limite Pas de limite ∞ ∞ 7 9 ∞ Pas de limite Pas de limite Etude infaisable ∞ 64 ? puis de v: ² (on justifiera par une rédaction soignée). On utilise les théorèmes sur les limites d’un polynôme et d’une fraction rationnelle : ∞ ∞ 1 ∞ √3 5 ∞ (attention, le coefficient 1 ∞ Et ∞ ∞ √3 est négatif ) 3) Les limites et les opérations sur les fonctions On suppose connues les limites (dans une certaine condition d’étude) de deux fonctions f et g

l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions

d’une fonction polynôme en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en − ∞ ) de son terme de plus haut degré. b) Quel théorème utilise-t-on pour calculer la limite d’une fonction rationnelle en + ∞ ou − ∞ ? La limite d’une fonction rationnelle en + ∞ (respectivement en − ∞ ) est égale à la limite en + ∞ (respectivement en − ∞ ) du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exercice n°2 : ( 5 points) 20 min Déterminer, si

et d sont des coefficients réels, a étant non nul. On se propose de donner des méthodes de résolution dans R dans le cas où une solution est "évidente". Polynôme du troisième degré à coefficients rationnels Toute expression de la forme : P (x) = ax3 + bx2 + cx + d où les coefficients sont des nombres rationnels (entiers ou fractions), le coefficient a étant non nul. Solution ou racine évidente Un réel α est solution évidente de l’équation ou racine du polynôme P si on peut avec un calcul simple montrer

3 x x 1 1 5 Donc F( x ) = − + 2 + . x x 4 2 1 2x Donc F( x ) = e − 2 e x + 2 . 2 16 ∀x ∈ I , F( x ) = − 1 + 12 + k et F( − 2 ) = 2 . 17 ∀x ∈ I , F( x ) = 1 e 2 x − 2 e x + k et F(ln( 2 )) = 0 . 4x − 4 = 4. x −1 F est une fonction rationnelle dérivable sur I . On pose F' = f . Ainsi F est une primitive de f sur I. Or G = F + 4 donc G est aussi une primitive de f . 4 ∀x ∈ I , G ( x ) − F( x ) = 18 1. On pose I = 1 − 3;1 + 3 .   M( x; y ) ∈ # f ⇔ y = 3 − ( x − 1)2 , x ∈ I

contraires, ABC est supposé cartésien. | |1: Notant H son orthocentre orthogonalement projeté en ( U , V , W ) sur les trois côtés, | |    déterminez les nombres rationnels parmi | |        AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU. | |2: Notant I son

ECRITURES FRACTIONNAIRES I. Quotients égaux Propriété : soit a,b des nombres quelconques avec b ≠ 0. -a-b + ab et -a b = ab = - ab Produit en croix : Soit a,b,c,d des nombres quelconques avec b ≠ 0 et d ≠ 0. .Si ab= cd alors a×d = b×c .Si a×d = b×c alors ab=cd II. Opérations avec des écritures fractionnaires 1) Multiplication Règle : Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux