Lemme de Cesàro

On considère la fonction continue ϕ :  → , de période 2π , paire et définie pour x ∈ [0, π] , par ϕ( x) = x . Donner l’allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de classe C 1 par morceaux sur . 3. Théorème de Cesàro Soit (u n ) une suite de complexes qui converge vers le complexe l. a. Justifier, simplement, en utilisant un théorème de sommation de relations de comparaison, que : n ∑ (u k =0 k − l ) = o(n + 1) au voisinage de + ∞ .  u + u1 +

. . . . . . . . . . . . . . . Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cesàro en version continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalités de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées . . . . . . . . Formule de Faulhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . Cesàro en version continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalités de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées Formule de Faulhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyennes d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Lebesgue . . .

fréquence f n (ω) est majorée par 1, fonction Pi j intégrable, donc par convergence dominée Ei ( f n ) → Ei (λ(i , j )) = λ(i , j ) et par j 1 linéarité Ei ( f n ) = n n P k (i , j ) → µ(i , j ) (si une suite u n converge, la suite de k=1 ses moyennes de Césaro converge vers la même limite).  . Cas j transient Lorsque j est un état transient, on a vu dans la démonstration de la proposition . que pour tout i , Ei (N j ) est finie, mais Ei (N j ) = Ei n∈N∗ 1Xn = j = n∈N∗ Ei (1Xn = j

Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes Notions

coefficients de Fourier : PROPOSITION i) cn(λf) = λcn(f) et cn(f+g) = cn(f) + cn(g) ii) Si f et g sont continues, f = g ⇔ ∀ n, cn(f) = cn(g) 2π 1 ⌠ iii) La suite ^ est bornée et || ^ ||∞ = Sup { cn | n ∈ } ≤ f f  f(t) dt = || f ||1 2π ⌡0 iv) lim cn(f) = 0 (lemme de Riemann-Lebesgue) n→ ± ∞ Démonstration : i) évident. Découle de la linéarité de l'intégrale. ii) ∀ n, cn(f) = cn(g) ⇒ ∀ n, cn(f – g) = 0 ce qui signifie que f – g est orthogonale à toutes les exponentielles, or nous avons déjà vu que cela signifiait

3 2.5.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crit`re de Cauchy pour les suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Le lemme de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Propri´t´s des fonctions d’une variable r´elle e e e 3.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.2 Continuit´ en un point . . .

]. Cette sous-suite converge vers l. 2q = ln 2, q ce qui montre que la suite (sn)n∈N n’est pas de Cauchy et donc est divergente. § 2.2. Limites dans R Terminons ce paragraphe par un exemple : 19 2.1.17 Exemple. La suite des sommes de Cesàro d’une suite (sn )n∈N est la suite (cn )n∈N , définie par : ∑n si ∀n ∈ N , cn = i=1 . n Alors, si (sn )n∈N converge vers l, (cn )n∈N converge aussi vers l. La réciproque est fausse. Si la suite (sn )n∈N converge vers l, pour tout ε > 0 il existe N ∈

(k) pj,j < ∞ l’état j est transient. Une démonstration peut se faire à l’aide des fonction génératrice, en posant Pi,j (z) = (n) (n) pi,j z n et Fi,j (z) = fi,j z n , en notant que Pi,j (z) = δi,j + Fi,j (z) · Pj,j (z) et du Lemme d’Abel, n≥0 Lemme 50. Si une série de terme général un converge, et u = Réciproquement, si un ≥ 0, et si lim z→1 n≥0 un , un z = u(≤ ∞) alors u = z n≥0 alors lim z→1 un z z = u. n≥0 n≥0 un . Ce résultat permet de montrer que

l’état j est transient. (k) d’Abel, n≥0 Une démonstration peut se faire à l’aide des fonction génératrice, en posant Pi,j (z) = (n) (n) pi,j z n et Fi,j (z) = fi,j z n , en notant que Pi,j (z) = δi,j + Fi,j (z) · Pj,j (z) et du Lemme n≥0 Lemme 50. Si une série de terme général un converge, et u = Réciproquement, si un ≥ 0, et si lim z z→1 n≥0 un , alors lim z→1 un z z = u. n≥0 n≥0 un z = u(≤ ∞) alors u = n≥0 un . Ce résultat permet de montrer que la récurrence