Les Probabilités

Eléments de probabilités et de statistiques A- Eléments de statistique descriptive ................................................................................................. 2 I- Tableaux statistiques et représentations graphiques..................................................................... 2 II- Résumés numériques................................................................................................................... 3 B – Eléments de probabilités .....................

meilleur résultat est associé à une plus grande probabilité sera préférée à l’autre. NB: Le signe > et ≈ désignent la relation de préférence et d’équivalence entre les loteries. La notation Loterie (L,L’; p, 1-p) signifie qu’on obtient L et L‘ avec les probabilités p et 1-p Généralités • Le paradoxe de Saint-Petersbourg un mendiant de la ville de Saint-Petersbourg détenait un billet de loterie pouvant lui faire gagner 20 000 ducats avec une probabilité égale à 0,50. quand vint passer un riche marchand

renvoie les symptômes. • Le chaînage mixte : il permet simplement au programme de fonctionner de l’une des deux manières précédentes en fonctions du besoin de l’utilisateur. 4 A l’intérieur de ces implémentations se cache des calculs de probabilités complexes qui vont être la principale difficulté du programme. 2.2 Base de connaissances Concernant la base de connaissances, celle-ci est constituée de deux parties : • Le standard d’engagement : Le standard d’engagement représente les informations

vendre à découvert; 4. Les échanges ont lieu sans coûts de transaction; 5. On peut emprunter et prêter au même taux constant r. 1.2 Arbitrage Quelles sont les évolutions possibles du marché? Ω: ensemble des états possibles du marché; P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des états. Quelles sont les stratégies d’investissement? Définition 1.1 Un portefeuille autofinancant est une stratégie d’achat ou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque

décision est dite « aléatoire » lorsque certaines variables ne sont pas totalement maîtrisées par l'entreprise mais sont connues en probabilité (entendons par là « pouvant être mathématiquement probabilisées »). Lorsqu'une variable est connue en probabilité, il s'agit d'une variable aléatoire c'est-à-dire une variable dont on sait qu'il y a telle ou telle probabilité pour qu'elle prenne telle valeur. Prenons un exemple très simple : dois-je jouer pile ou face (pour un seul jet de pièces) ? Voici

matrice stochastique si ses coefficients sont positifs et la somme sur une ligne des coefficients est égale à 1 : a. P (x, y) ≥ 0 ; � b. z∈E P (x, z) = 1 ; pour tous x, y ∈ E. On donne une nouvelle définition des chaînes de Markov basée sur les probabilités. Chaîne de Markov II Définition 9.4 Soit P une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (Xn , n ∈ N) à valeurs dans E est appelée chaîne de Markov de matrice de transition P si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a : P (Xn+1

Chapitre 3 Corrig´s des exercices : Introduction aux Probabilit´s e e 1. * Quelle est la probabilit´ d’avoir les 6 bons num´ros sur une grille simple de loto? D’en avoir exactement e e 3? Dans une grille de loto, il faut donner 6 num´ros parmi 49, l’ordre n’ayant pas d’importance. e 6 Ainsi, cardΩ = C49 . Il n’y a qu’une grille simple qui donne les 6 bons num´ros, donc la probabilit´ est e e p1 = 1 −8 6 ≈ 7, 15.10 . C49 3 Pour avoir exactement 3 bons num´ros, il faut en choisir 3 parmi 6 (C6

où il est envisagé, pour chaque année, quatre scénarios relatifs à l’importance globale du marché pour lesquels on a estimé des quantités de ventes affectés chacune d’une probabilité de réalisation. Année 1 Année 2 Année 3 Année 4 Probabilité Ventes globales Probabilité Ventes globales Probabilité Ventes globales Probabilité Ventes globales 0,15 600 0,4 800 0,2 700 0,25 900 0,25 700 0,2 900 0,15 600 0,2 800 0,4 800 0,15 700 0,25 900 0,4 600 0,2 900 0,25 600 0,4 800 0,15 700 Le service d’études

lequel figurent quelques probabilités par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est p(D) = 0, 25. 0, 65 U D 0, 25 U U D U On donne, de plus, la probabilité de l’évènement U : p(U) = 0,762 5. Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A 1. 2. a. Donner la probabilité de U sachant D. b. Calculer p(D). a. Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne (donner la valeur exacte). b. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait

femmes ? d) De personnes de même sexe ? e) De personnes de sexe différent ? donner deux méthodes. Exercice 1 : On considère l’espace probabilisé E et deux évènements A et B tels que : p(A)=0,40 ; p(B)=0,50 et p(AnB)=0,10. Calculer la probabilité des évènements suivants : a) A ou B se produit, b) A seulement se produit, c) Ni A, ni B ne se produisent, d) A ou bien B Exercice 2 : On considère deux évènements A et B tels que : p(A)=5/6 et p(B)=1/3. Peut-on dire que ces évènements