LIM

  5   3° 4° 2° ln  x g  x  définie sur    0;  x Exercice 2 4,5 points Déterminer les limites suivantes. 1° lim x     4 ln x  x   3° 1 h  x 2  ln  x  9 x définie sur    0;  2 Déterminer le signe de h’ (x) et donner les variations de h sur    0;  2° lim 3x     8 ln x  x0 3° x   lim ln  x    5 CORRECTION DU DS7 Exercice 1 1° 2° 3° 4 points ln 2  3ln e  3  e  2 ln e 3 1 ln e 2 2 1 2 2 Exercice 3

démonstration : pour la fonction sinus ; ¦(x) = sin x L'accroissement moyen de ¦ en x s'écrit : sin( x + h) - sin x sin x cos h - sin h cos x - sin x cosh - 1 sin h = = sin x cos x h h h h Or, on démontre que lim h®0 sin h cosh - 1 sin( x + h) - sin x = 1 et lim = 0. D'où lim = cos x. h®0 h®0 h h h Ces résultats nous permettent de trouver les variations des fonctions sinus et cosinus : FONCTION SINUS Posons ¦(x) = sin x. On a donc ¦'(x) = cos x p p Sur [0 ; [, ¦'(x) = cos

Il obtient ainsi l’encadrement suivant : 3+ 10 1 0, ce qui entraîne que − Ce nombre est appelé la limite de la suite, ce que l’on note n→+∞ Preuve. Soit ε > 0 un nombre réel strictement positif. Par définition, il existe N ∈ N et = 0. n lim un = . 597 |un − 0| = un ≤ 1/n ≤ 1/N < ε ce qui montre la convergence de la suite vers 0. La remarque suivante est presque évidente, mais très importante en pratique. Méthode Inégalités strictes ou larges Dans la définition de la limite

On dit que la limite de f en un point a est ´egale `a `, et l’on note lim x!a f(x) = ` , si pour tout intervalle ouvert J contenant `, il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que 8x 2 I \ {a}, f(x) 2 J, i.e. les images des ´el´ements de I \ {a} appartiennent `a J. Exemple 2.2. Les limites suivantes sont `a connaˆıtre. lim x!0 sin(x) x = 1 , lim x!0 log(1 + x) x = 1 , lim x!0 exp(x) − 1 x = 1 , lim x!0 1 − cos(x) x2 = 1 2 . D´efinition 2.3 (Continuit´e). Soit f

2 2 • Résoudre dans R l’inéquation suivante : e3x e x +6 D’après les équivalences ci-dessus, l’équation est équivalente à : 3x x+6 ⇔ 2x 6 ⇔ x 3 soit S =] − ∞; 3] 2.3 Limites Théorème 6 : On a les limites suivantes : lim e x = +∞ x →+∞ PAUL M ILAN 5 et lim e x = 0 x →−∞ T ERMINALE S TABLE DES MATIÈRES ROC Démonstration : Soit la fonction f suivante : f ( x ) = e x − x. Dérivons la fonction f : f ′ ( x ) = e x − 1 Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on

+ h[ pour une limite en x0 etc… Limites par comparaison Si pour tout x ∈ I f(x) ³ g(x) et si lim g(x) = +∞ alors lim f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie. Limite d'un inverse Si g

− f (a) l = lim pourvu que cette limite existe. Dans ce cas, le nombre l est x→a x−a appelé dérivée de la fonction f au point a. On le note f’ (a). En posant x = a + h on obtient une autre forme pour l’expression de la dérivée de la f ( a + h) − f ( a ) fonction f au point a f '(a ) = lim . h→0 h Définition 1. La limite finie de l’accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h , quand h tend vers 0, est le nombre dérivé de f en a, noté f’ (a) : f ( a + h) − f ( a ) f '(a ) = lim h→0 h Le nombre

Exercice 3 (10 points) Partie A Soit la fonction numérique g de la variable réelle x définie sur R par g(x) = ex + x + 1 1. a) lim g = lim (e x + x + 1) = -∞ car lim e x = 0 et lim (x + 1 ) = −∞ −∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ lim g = - ∞ −∞ et lim g = lim (e + x + 1) = + ∞ car lim e = +∞ et lim (x + 1) = +∞ x x +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ lim g = + ∞ +∞ b) Variations de la fonction g : g est dérivable sur R, et : g'(x) = (ex + x + 1)' = ex + 1 donc g'(x) > 0. g est strictement

pour un rang n fixé quelconque dans , 3d) ● Puisque 2  1 , alors lim  2n    alors 0  un  1 ● Puisque 0  a  1 alors 0  1  a  1 alors lim n N  or d’après le schéma ci-dessus, la fonction f croit sur l’intervalle  0;1  1  a    0 N  ● Alors, avec le téhorème de composition de limites, et N  2n , alors lim 1  a  donc f  0  f un   f 1 n 2n 0 D’où, d’après la question 3c, lim  un   1 or f  0   0 , f  un   un1 et f 1  1 n Ccl

Alors E(X) = np = 240 et V(X) = np(1 – p) = 96 = σ² X suit donc la loi normale (240 ;96). ii. P(X ≤ 250) = 0,846 (= 0,5 + P(240 ≤ X ≤ 250)) Exercice 3 Partie A 1. lim x → +∞ x + 1 = +∞ lim ex = +∞ donc lim f(x) = +∞ x → +∞ f(x) = xex + ex. lim xex = 0 et lim ex = 0 x → -∞ x → -∞ x → +∞ donc lim f(x) = 0 x → -∞ 2. f est un produit de fonctions dérivables sur ℝ . Elle donc dérivable également sur ℝ . f ’(x) = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex 3. f(-2) = -e-2 Partie