LIM

  − 25  25 1 1   25 1 1 1    4 = 25 + 5 1 −  1   + 5    = ∑ + 5∑   = 25   + 5  4      ∑  2  4   k =1 2 k =1  4  1 2 3 4  2 k =1  −1 4 2. 1  1 k k n   − ∞ n  1  1 3 = lim 1 1 −  1   = 1 3      ∑  3  = nlim ∑  3  = nlim 1 →∞ →∞ n →∞ 2    3  2 k =1  k =1 −1 3 n +1 Exercice 1.4 a) b) b − a 1− 0 1 k3 3  1 k = = , xk = a + k ∆x = 0 + k   = et f ( xk ) = ( xk ) =

ce qui donne en utilisant ( ) 0 ln 1 lim 1 X X ® X + = et des petites astuces : ( ) ( ) 1 0 0 3 2 3 3 ln ln ln 1 ln 1 5 5 ln 1 3 5 ln 1 3 2 lim lim lim 1 1 5 3 5 5 5 x X X x x X X X X x X X X X ® ® ®  +        -  +  +  +  +       = - = - = - = - - . d. Vrai : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim ln 3 2 lim ln lim ln 5 0 0 0 x x x x x x x x xf x x x x x x ® ® ® ® > > > > = + - - = - - car ( ) 0 0 lim ln 0 xx x x ®> = . Note : les questions

ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا آﺎن ∞± = ) ‪ lim f ( x‬أو ∞± = ) ‪ lim f ( x‬ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x = a‬ﻣﻘﺎرب ل ‪Cf‬‬ ‫− ‪x→ a‬‬ ‫+ ‪x→ a‬‬ ‫1 + ‪2x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫1− ‪x‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ∞+ = ) ‪ lim f ( x‬و ∞− = ) ‪ lim− f ( x‬و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 1 = ‪ x‬ﻣﻘﺎرب ﻋﻤﻮدي ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫+‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫1→ ‪x‬‬ ‫1→ ‪x‬‬ ‫ب- اﻟﻤﻘﺎرب اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا آﺎن ‪ lim f ( x ) = b‬ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y =b‬ﻣﻘﺎرب ل ‪.Cf‬‬ ‫∞±→‪x‬‬ ‫و 2 = ) ‪ lim f ( x‬و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2 = ‪ y‬ﻣﻘﺎرب

1 et que lim n+1 = 1 n + 5 vn vn 5)a) montrerpar récurrenceque ∀n ∈ IN; v n+1.vn = 2π (n + 2)(n + 3)(n + 4) 3 b) En faisant apparaitredans l' expressionprécédentele rapport v n+1 montrerque lim n 2 vn = 2π vn 2 (2 p p!) 2 (2 p + 1)(2 p + 3) (2 p)! III )(u n ) etant la suite definiedans I)4) 6) Montrerque ∀p ∈ IN ; v 2p = n! 1) Montrerque ∀n ∈ IN*; e u n = n 2) exprimere 2u p −u2 p n+ 1 2 en en fonctionde p et de v 2p 3) soit l = lim u n déduirede

La fonction dérivée de f est la fonction définie par f ′(x) = (2x −2)ex . B. La fonction f est décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 2]. C. lim x→−∞ f (x) = 0. La bonne réponse est la réponse C. En effet, pour tout x de R, f (x) = x2ex −2xex −ex . Or, lim x→−∞ ex = 0 et, par croissance comparée, lim x→−∞ x2ex = 0 ainsi que lim x→−∞ xex = 0. On en déduit que lim x→−∞ f (x) = 0. 2. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3 5+ex . Sa courbe représentative dans un repère admet : A. une seule

a + h, f (a + h) − f (a) , a une limite finie quand h tend vers 0, de sorte que h = 0. Si cette limite existe, on h l’appelle le nombre dérivé de f en a et on la note f ′ (a). Mathématiquement, on écrit : f ′ (a) = lim h→0 h=0 f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim . x→a h x−a x=a y (Cf ) M f (a + h) hε(h) t A f (a) j 1.2 a a+h x f ′ (a) est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de f . Équation de la tangente (At) : La

d'analyse SUHUF Soit sn , s′ comme étant dénies dans la preuve précédente. Alors pour n > k , on a : n sn − s′ = (ak − bk )10−k + · · · + (an − bn )10−n n = 10−k − 9(10−k−1 + · · · + 10−n ) ( ) 10 −k = 10 − 9 (10−k−1 − 10−n−1 ) = 10−n 9 Donc, lim(sn − s′ ) = 0. n 2 Maintenant pour les rationnels de quelques nombres rationnels pour avoir une idée. Soit, p donc, α ∈ [0, 1], avec α = et supposons que α = ·a1 a2 · · · avec ai ∈ [0, 9] ∩ N et (an )n est q dénie par : a1 ≤ 10α < a1 + 1 an

solution générale y = C1 cos x + C2 sin x − x + 1 avec (C1,C2 ) ∈R 2 pour x ∈I 2 = ] 0, + ∞ [, l' équation y"+y = x + 1 admet pour solution y = D1 cos x + D2 sin x + x + 1 avec (D1,D2 ) ∈R 2 lim y(x) = lim y(x) ⇒ C1 = D1 x→0 − x→0 + lim y' (x) = lim y' (x) ⇒ C2 − 1 = D2 + 1 x→0 − x→0 + lim y"(x) = lim y"(x) ⇒ C1 = D1 x→0 − x→0 + si l' on exp rime D1 et D2 en fonction de C1 et C2 , on obtient D1 = C1 et D2 = C2 − 2 soit, la solution de l' équation différentielle C1 cos x + C2 sin x − x

Exemple de démonstration : pour la fonction sinus ; ¦(x) = sin x L'accroissement moyen de ¦ en x s'écrit : sin( x + h) - sin x sin x cos h - sin h cos x - sin x cosh - 1 sin h = = sin x cos x h h h h Or, on démontre que lim h®0 sin h cosh - 1 sin( x + h) - sin x = 1 et lim = 0. D'où lim = cos x. h®0 h®0 h h h Ces résultats nous permettent de trouver les variations des fonctions sinus et cosinus : FONCTION SINUS Posons ¦(x) = sin x. On a donc ¦'(x) = cos x p p Sur [0 ; [, ¦'(x) = cos x > 0, donc

1 1 1 1 , 2, 3, , an avec -1 n n n n convergent vers 0 et on note alors : lim un 0. Les suites de terme g´n´ral e e n a 1,   Si, ` partir d’un certain rang, un ¡ l a Th´or`me de comparaison 5 : e e vn et si lim vn n n alors (un ) converge vers l et on note : lim un   l.   0, Th´or`me 6 : e e Si, ` partir d’un certain rang, un a lim un lim wn l, n vn wn et si : alors lim vn n   n     l. Remarques : ­ Les deux in´galit´s sont indispensables