LIM

E est continue sur : a) ]0,1] b) [0,1[ 5 ) Soit la fonction k définie par : k ( x ) = 1 - x 2 alors a ) k ( ] 1 ; 2[ ) = [ - 3 ; 0 [ b) k([1;+  [)=]-  ; 0[ ( - 1 )n n 6 ) Soit ( Un ) la suite définie sur IN par : Un = , alors : n2 + 1 a ) lim Un = 0 b ) lim Un = +  n+  n+  c) [0,1] c ) k ( [ 0 ; 1] ) = [ 0 ; 1 ] c ) ( Un ) n’a pas de limite EXERCICE N : 2 ( 5 points ) A ) Soit dans l’équation : ( E ) Z 2 + ( - 5 + i ) Z + 8 - i = 0 . 1 ) Vérifier que : Z ’= 2 + i est une solution

d'accroissement de f entre a et a+h tend vers un nombre réel fini, noté f '(a), lorsque h tend vers 0 et on écrit : f (a+h)− f (a) f ' (a)=lim . h h→ 0 Le nombre f '(a) – lorsqu'il existe – désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d'abscisse a. Exemple 2. Pour la fonction f : x → x 2 vue ci-dessus, nous avons : f (1+h)− f (1) lim =lim (2+h)=2∈ℝ h h →0 h →0 2 Donc la fonction f : x → x est dérivable en 1 et f ' (1) = 2. Exemple 3. La courbe suivante représente

cm. IJK et LIM triangles rectangles respectivement en K et en M. 1. Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle a. KIJ On sait que KIJ est un triangle rectangle en K IK= 4cm; JK = 2,4 cm. Donc tan a = KIJ KJ 2.4 soit tana = KIJ . Donc tana = 0,6 KIJ KI 4 Pourquoi les angles a et a sont-ils égaux? KIJ LIM Les deux angles sont opposés par le sommet donc ils sont égaux. Donner l'expression de la tangente de l'angle a en fonction de IM. LIM On sait que LIM est un triangle

(t − x)dt)∆αk Par conséquent n−1 n→∞ 1 ∞ 1 ∞ ϕ(α)dα = ϕ(α)dα ℓ→∞ π π/ℓ π 0 ∞ ℓ 1 1 lim f (t) cos(α(t − x))dt dα = ℓ→∞ π π/ℓ π −ℓ On a finalement la relation pour f continue : lim 1 f (x) = π M er A  N -E  ∞ 0 ∞ −∞ 1 Ainsi π Comme ϕ(α)dα (l’intégrale de Riemann.) k=1  n−1  n−1 ℓ 1  1     ϕ(αk )∆αk = lim  f (t) cos(αk (t − x))dt) ∆αk . Donc lim   π  n→∞ π n→∞ −ℓ π/ℓ lim ϕ(αk )∆αk = ∞ 1 ϕ(α)dα = π π/ℓ ∞ k=1 ∞ ℓ k=1 π/ℓ −ℓ f (t)

LA DERIVABILITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE ? Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si les deux f (a + h) − f (a) f ( x) − f (a) limites équivalentes suivantes lim existent et sont finies = lim h x−a h→0 x→a On dit que f est dérivable sur I si et seulement si elle est dérivable en tout point a de I. Graphiquement cela signifie que sa courbe admet en chacun de ses points une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées 1)

A3 l'aire du triangle OAT. En comparant ces aires, prouver que : sin x ≤ x ≤ tan x. 3) En déduire que cos x ≤ 4) Déterminer lim x →0 x >0 sin x ≤ 1. x sin x . x Exercice n°25. sin x = 1 (cf exercice précédent), étudiez les limites en 0 des fonctions : x →0 x sin 5x tan x x 2) x → 3) x → 4) x → sin 4 x sin 3x x En utilisant le résultat lim 1) x → sin5x 2x Calculs de dérivées Exercice n°26. Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de la

DIFFERENTIEL ET INTEGRAL a. Limites usuelles Comportement ` l’infini a t→+∞ Comportement ` l’origine a t→0 lim ln t = +∞ lim ln t = −∞ t→0 t→0 t→+∞ lim et = +∞ Si α > 0, lim tα = 0 ; si α < 0, lim tα = +∞ Si α > 0, lim tα ln t = 0. t→0 t→−∞ lim et = 0 Si α > 0, lim tα = +∞ ; si α < 0, lim tα = 0 t→+∞ t→+∞ Croissances compar´es ` l’infini e a Si α > 0, lim Si α > 0, lim et = +∞ t→+∞ tα ln t =0 tα t→+∞ b. D´riv´es et primitives e e Fonctions usuelles f (t) f (t) ln t

népérien : c’est la seule solution donc l’affirmation est vraie. 3. Affirmation : lim x→+∞ e2x −1 ex −x = 0. On a e2x −1 ex −x = e2x ( 1−e−2x ) ex (1−xe−x ) = ex ( 1−e−2x ) (1−xe−x ) . • Au numérateur on sait que lim x→+∞ e−2x = 0, donc lim x→+∞ 1−e−2x = 1; • Au dénominateur xe−x = x ex et l’on sait que lim x→+∞ x ex = 0, donc lim x→+∞ 1−xe−x = 1. Le quotient a pour limite 1 et comme lim x→+∞ ex = +∞, on a finalement lim x→+∞ e2x −1 ex −x = +∞ : l’affirmation est fausse. 4. La fonction F est définie

clairement monotones donc convergentes dans R (la premiµere cro^³t et la seconde d¶ecro^³t). On note alors lim inf un = lim (infk¸n uk) = sup (infk¸n uk) lim sup un = lim ¡ supk¸n uk ¢ = inf (infk¸n uk) On a alors la Proposition 1.1.3 Soit (un)n2N une suite de R. Alors lim inf un (resp lim sup un) est la plus petite (resp. la plus grande) valeur d'adh¶erence de la suite. On a lim inf un · lim sup un et l'¶egalit¶e a lieu si et seulement si la suite converge vers cette valeur Preuve. Avant de

admise): n 2.5 2 1.5 1 0.5 (b-a)/n 0 a 0.5 1 1.5 2 2.5 b x Valeur approchØe =5.470628265 Valeur exacte =5.443664273 3 1-Intégrale double 2-Intégrales triples 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 Si f est continue sur [a, b] alors lim n→+∞ f (xi )∆xi = I(f ). i=1 I(f ) sera appelée intégrale définie de la fonction f continue entre les bornes a et b 3/27 1.1- Intégrale Double M— Michel Fournié O- Intégrales simples 1-Intégrale double 1.1- Définition 1.2-Interprétation graphique