LIM

cruciale ici. La suite étant décroissante et minorée par 0, la limite est comprise entre 0 et u0 et donc elle appartient à [0, 1[. Grâce à la continuité de f sur cette intervalle et les propriétés générales des limites des suites : l = lim un = lim un+1 = lim f (un ) = f ( lim un ) = f (l). n→∞ n→∞ n→∞ Ainsi, pour détérminer l il suffit de résoudre : f (l) = l =⇒ l2 = 2l − l3 =⇒ l3 + l2 − 2l = 0 =⇒ l(l − 1)(l + 2) = 0 La seule solution dans [0, 1[ est l = 0. 3 n→∞ Exercice IV. Soit f la fonction

supposer que f (c) = 0 pour un certain r´el c, et montrer que le crit`re de Cauchy est alors contredit). e e 10. ∞ a Soit f une fonction uniform´ment continue de [ a, ∞ [ dans R, telle que l’int´grale e e x→∞ f (x) dx converge. Montrer que lim f (x) = 0 (montrer que sinon le crit`re de Cauchy see rait contredit). 11. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que, quand x tend vers ±∞, on ait 1 . f ′ (x) = O x2 a) D´montrer que les limites L et ℓ de f en +∞ et −∞ respectivement existent

: supposer que f (c) = 0 pour un certain r´el c, et montrer que le crit`re de Cauchy est alors contredit). e e 10. ∞ Soit f une fonction uniform´ment continue de [ a, ∞ [ dans R, telle que l’int´grale e e f (x) dx converge. Montrer que lim f (x) = 0 (montrer que sinon le crit`re de Cauchy see x→∞ a rait contredit). 11. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que, quand x tend vers ±∞, on ait 1 . f (x) = O x2 a) D´montrer que les limites L et de f en +∞ et −∞ respectivement

ville soit sans délestage le 20eme jour. z * = 1−e * 0 z * PROBLEME ≅ 6,483 à 10, . Prés par défaut. 3 x−1 3 I. • 3 = 3x2 + 1 .. Soit m• le domaine de définition de la fonction •, m• = ℝ car 3x + 1 ≠ 0 pour tout 3 ∈ ℝ. 1) lim f 3 = −∞ lim f 3 = +∞ x→ −∞ x→ +∞ 2) x↦(x-1)3 est dérivable sur IR comme puissance d’une fonction dérivable sur IR. D’où par produit x↦ 3(x-1)3 est dérivable sur ℝ x↦ 3x2 + 1 dérivable sur IR et 3x2 + 1≠0 pour tout réel ; par quotient x↦ f(x) dérivable

fonction A. Définitions : Limite en un réel : Lim x→a f(x) =b, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images se rapproche de b Limite en l’∞ : Lim x→a f(x) =∞, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images finissent par dépasser n’importe quel nombre réel aussi grand que l’on veut 7. Asymptotes A. Définitions : Asymptotes verticale : le graphe d’une fonction f(x) admet une A.V. d’équation x=a. Si il existe un réel a tel que Lim x→a f(x) = ∞ Asymptotes horizontale :le

l’infini. Alors, on a: L(t n f(t))(1)n F (n)(s) Où F (n ) est la dérivée d’ordre n de la fonction F. l) Soit f(t) une fonction continue par morceaux sur [0, A] (pour tout A>0) et a un ordre exponentiel à l’infini. Supposons que la limite t 0 lim  f (t ) t , est finie. Alors, on a : L   f(t)  L(f())d   t   s m)-Règle de similitude (Changement d'échelle) : Soit g (t) = f(at) (a>0), alors L( f ( at ))  1 s F( ) a a 3- FONCTIONS PARTICULIERES Dans l’étude des systèmes

37 / 41 1 2 3 4 5 lim −n2 = −∞ et lim −4n + 5 = −∞, donc lim un = −∞ 4 5 un = −3n2 + 4n + 5 = n2 (−3 + + 2 ) n n 5 4 2 lim n = +∞ et lim −3 + + 2 = −3 donc lim un = −∞ n n 3 3 n2 (1 − ) 1− n2 − 3n n = n donc lim u = 1 un = 2 = n 4 4 3 3n + 4 n2 (3 + 2 ) 3+ 2 n n n 2 n n 1+ 2 5 1 + 5n + 2n 5 5 un = n = = donc lim un = 1 n n 5 −3 3 n 3 n 5 1− 1− 5 5 Sn = 1 + 1 + ··· + 2 G. Petitjean (Lycée de Toucy) 1 2 1− n = 1 2 n+1 1 1− 2 Méthodes sur les suites donc lim un = 1 1− 1 2 19 juin

LYCEE PILOTE DE SOUSSE LE Devoir de contrôle N°1 CLASSE : 4Math MATHEMATIQUES DUREE : 2 heures 31 / 10 / 2009 Exercice 1 Pour chacune des questions suivantes cocher la réponse exacte  1/ lim x sin   x 0 x  est égale à 0  est égale à   n’existe pas   x2  2/ lim tan  2  x   2x  1   est égale à 0  est égale à   est égale à    n sin  n   2 , n 3/ la suite U de terme général U n  n 1  converge vers 1  converge vers 0 4/ L’équation : 3x  4x 3  1

solution particulière de l’équation avec second membre, c’est-à-dire : ω(t) = K.e−200t + 146 avec k∈R donc ω0 = 146 (b) On a ω(0) = 150 donc ω(0) = K.e0 + 146 = 150 donc k = 4. On a donc bien : ω(t) = 4e−200t + 146 2. (a) On sait que lim e−200t = 0 donc : t→+∞ ω∞ = lim ω(t) = 146 t→+∞ La perte de vitesse est donc : ω(0) − ω∞ = 4 (b) On a : 2e−200t ω(t) − ω∞ 4e−200t = = 73 ω∞ 146 1 ω(t) − ω∞ < 100 ω∞ 1 2 −200t e < 73 100 e−200t < 73 200 donc 9 − 200t < ln 0, 365 Il faut donc résoudre : Donc

du ou des terme(s) précédent(s). Convergente, divergente (suite) : • On dit qu’une suite (un ) est convergente vers le réel a lorsque tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim un = a. x→∞ • Une suite qui n’est pas convergente est divergente. Dire qu’une suite est divergente peut signifier : – qu’elle n’a pas de limite, comme pour la suite de terme général un = cos n ; – que son terme général tend vers l’infini quand n tend