Logarithme décimal

références 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les fonctions puissances entières 2.3 Fonction valeur absolue . . . . . 2.4 Fonction racine carrée . . . . . . 2.5 Fonction inverse . . . . . . . . . 2.6 Fonction exponentielle . . . . . 2.7 Fonction logarithme . . . . . . . 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . 2.9 Solutions des exercices . . . . . 15 15 16 16 19 19 20 20 21 21 22 22 23 24 27 27 27 27 28 29 29 30 31 33 33 33 33 34 34 34 34 35 35 36 36 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ca/PagesAnonymes/DisplayFiches.aspx?ID=2634# 2634 - Les logarithmes Généralités Loi des logarithmes La réduction d’expressions logarithmiques à l’aide des propriétés des logarithmes Généralités Un logarithme est l’ exposant d’une base. Le logarithme répond à la question suivante: quel doit être l’exposant c pour que a = b c ? Attention : Une base doit être positive . De plus, une base ne peut pas être représentée ni par zéro, ni par 1 , mais elle peut l’être par un nombre décimal entre les deux ou tout autre nombre

exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x). Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [pic][ et à valeurs dans R est appelée : fonction logarithme népérien et notée ln. [pic] Tout nombre réel y strictement positif peut donc s’écrire sous forme exponentielle : y = esp (x) avec x = ln y Autrement dit : Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire :  y = eln y Il faut également connaître

4 4 Aire du triangle gris  ∫1 ln(x)dx  aire du rectangle 4 3 × ln(4)  ∫1 ln(x)dx  3 × ln (4) 2 4 3 × ln(2)  ∫1 ln(x)dx  6 × ln (2) 8   Avec f (x) = x ln x – x, on a f ’ (x) = ln x. La fonction f 8  est donc une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; + [. 9 9  a) f (x) = 2x – 2 b) Pour tout x de , F’ (x) = 2x – 2 = f (x) et F(0) = 02 – 2 × 0 = 0. c) et d) ᏯF ᏯG 1 1 1 +2− +2= 4 4 4 3 3 5 45 5 c) ∫1 5xdx = ⎡ x2 ⎤ = − = 20 ⎣2 ⎦ 1 2 2 4 1 5 1 5 4 d) ∫ −2 u + du = ⎡ u 2 +

Autrement dit, la fonction est continue sur { }. En effet, pour tout , d’une part ( ) ( ) et d’autre part . 8) La fonction est la fonction exponentielle, définie et continue sur . 9) La fonction est la fonction logarithme népérien, définie et continue sur . Fonction continue sur un intervalle – Continuité – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Exercice 4 (3 questions) Soit la fonction définie sur Niveau : facile par

peut ˆetre g´en´eralis´ee au cas des fonctions convexes et des fonctions concaves (Partie vi). Ces fonctions sont particuli`erement utiles en ´economie. Un exemple classique de fonction convexe est celui de la fonction exponentielle et la fonction logarithme donne l’exemple d’une fonction concave. Une bonne maˆıtrise de ces fonctions d’usage courant (ainsi que de quelques autres) est donc indispensable `a la compr´ehension du reste de ce cours (Partie ii). Certaines quantit´es mod´elis´ees par une fonction

le site du cours de Maths : http://mathjeandu.perso.sfr.fr  Les corrections seront également bientôt disponibles à cette même adresse. • • • • • • • • • • • • • • ET1 : Suites et récurrence. ET2 : Suites et probas. ET3 : Suites et intégrales. ET4 : Étude de fonction logarithme. ET5 : Étude de fonction exponentielle. ET6 : Nombres complexes et géométrie. ET7 : Nombres complexes et transformations. ET8 : Probabilités conditionnelles. ET9 : Probabilités et variables aléatoires discrètes. ET10 : Probabilités et variables aléatoires continues

chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. • Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R. • La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[. A retenir sur le fascicule de TD • Les dérivées des fonctions usuelles et leurs domaines de validité. • Les formules de dérivation d’une somme

g'x=ex-x ; or ex>x donc g'x>0 d’où le tableau : Donc pour tout x>0 on a gx>0 donc ex>x²2 donc exx>x2 Par th de comparaison : limx→+∞exx=+∞ En - ∞ : on pose X = - x alors limx⟶-∞X=+∞ et limX⟶+∞-XeX=0 donc par composée : limx→-∞xex=0 La fonction logarithme « la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[» Soit a et b dans ]O ;+∞[ avec alneA⟹lnx>A donc limx→+∞lnx=+∞ En 0 : on pose X=1x donc limx→0x>0X=+∞ donc limX→+∞lnX=+∞d’où limx⟶0x>0lnX=+∞ (par composée) donc limx⟶0x>0-lnX=-∞ or lnx=-ln1X=-lnX

. 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . 1.6.2 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Primitive s’annulant en a . . . . . . . . . . . .