Logarithme naturel

2 En supposant que le log dans ce cas est le logarithme décimal On a que log( 10) = 1 donc on a : 1 + 3 a - 3 b 2 Réponse 10 : FV = PV (1+i)n 12000 =8000 (1 +0.05 )n (1.05)n= 12000 8000 1.05n = 1.5 Comme n est l’exposant qu’il faut donner à 1.05 pour obtenir 1.5, on utilise le logarithme : N = log1,051,5= log 1.5 = 0.17609 = 8.31 années

| |Il fallait s'adapter et l'on chercha une fonction qui, comme les sensations, varie peu quand la variable varie beaucoup. | |Tous les types de logarithmes répondent ce critère, en particulier le logarithme décimal : | |Variable x | |1

et de divisions et qu’il est pratique de transformer ces opérations en suites d’additions et de soustractions, autrement dit de passer par le concept logarithmique.  On remplace alors le coefficient caractérisant la fonction considéré par son logarithme à base 10. Ce nombre est exprimé en Bel. Le décibel Le Bel est une unité qui est peu utilisé, on lui préfère un multiple : le décibel. Définition Il existe 3 façons équivalentes de calculer des décibels :  GdB = 10 log10 (Ps/Pe )  GdB = 20

Problèmes et exercices Exercice 1 : notion de décibel Solution 11. La L b bande d de d motards produit huit fois plus de puissance sonore qu’une seule moto. On a : 10 × log10 (8S) = 10 × log108 + 10 × log10S, ce qui revient à ajouter 10 fois le logarithme décimal de 8 au bruit d’une moto pour obtenir le nombre de décibels produit par les huit motos. Puisque : 10 × log108 = 10 × log1023 = 3 × 10 × log102 = 9 dB, la puissance des huit motos vaut : S = 87 + 9 = 96 dB. 2. Cela correspond à une puissance

Différent Addition Soustraction Multiplication Division Puissance Concaténation ( chaine de charactrére) sinus ; cosinus ; tangente arccosinus ; arcsinus ; arctangente sinus ; cosinus ; tangente hyperbolique racine carée Exponentielle Logarithme néperien Logarithme décimal Valeur absolue Reste de la division eniére Module Maximum Minimum Partie imaginaire Conjugué PROGRAM END PROGRAM IMPLICIT NONE Déclaration TYPE[,option] :: nom_de_la_variable LOGICAL INTEGER REAL DOUBLE PRECISION COMPLEX DOUBLE

de manière à ce que loga 1 = 0 (1) En mathématique, la base a la plus employée est le nombre irrationnel e = 2,71828..., qui définit l’exponentielle proprement dicte (y = ex) et son inverse, le logarithme népérien (y = loge x = ln x). L’autre base d’un usage commun est a = 10, qui définit le logarithme décimal, celui qu’on utilise en acoustique, et qui se note y = log10 x, ou simplement, sans l’indice, y = log x. La fonction logarithmique présente les trois propriétés suivantes: loga a = 1 (donc:

) = log 10 x3-log y3/2 Y3 = log (10) + log x3- log y3/2 = log 10+3log x- 3 log y 2 En supposant que le log dans ce cas est le logarithme décimal On a que log( 10) = 1 donc on a : 1 + 3 a - 3 b 2 Réponse 10 : FV = PV (1+i)n 12000 =8000 (1 +0.05 )n (1.05)n= 12000 8000 1.05n = 1.5 Comme n est l’exposant qu’il faut donner à 1.05 pour obtenir 1.5, on utilise le logarithme : N = log1,051,5= log 1.5 = 0.17609 = 8.31 années Log 1,05 0.21189 Réponse 11 : a) A12+a23 = 6 + 1 = 7 3 b) ∑ a3,j = a31 + a32+

Chapitre 5 La fonction logarithme népérien Pour prendre un bon départ (page 118) Activité 1 2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 . b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f ′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc

Problèmes et exercices Exercice 1 : notion de décibel Solution 1 La b d de motards produit huit fois plus de puissance sonore qu’une seule moto. 1. L bande d On a : 10 × log10 (8S) = 10 × log108 + 10 × log10S, ce qui revient à ajouter 10 fois le logarithme décimal de 8 au bruit d’une moto pour obtenir le nombre de décibels produit par les huit motos. Puisque : 10 × log108 = 10 × log1023 = 3 × 10 × log102 = 9 dB, la puissance des huit motos vaut : S = 87 + 9 = 96 dB. 2. Cela correspond à une puissance

pour les installer sur le vôtre. FONCTIONS USUELLES PLAN I : Fonctions exponentielles 1) Exponentielles et logarithmes 2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 3) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires 1) Fonctions trigonométriques 2) Réciproque des fonctions trigonométriques Annexe : trigonométrie I : Fonctions exponentielles 1– Exponentielles et logarithmes 1 u ln(x) est la primitive de définie sur ]0, +∞[ et s'annulant en x = 1. Autrement dit : x x 1 ln(x) = ⌠ 