Logarithme

Terminale S Fonctions Logarithmes Exercices corrigés 1. 1. Vrai-Faux 1 1. 2. Fonction ln, EPF 2006 1 1. 3. Equation, France 2004 2 1. 4. Dérivées et ln 4 1. 5. Primitives et ln 5 1. 6. Calcul de limites 6 1. 7. Résolution (in)équations 7 1. 8. Avec ROC 8 1. 9. Dérivation et encadrement 9 1. 10. Fonction+équation, Am. Nord 06/2008, 6 pts 11 1. 11. Ln et exp+intégrale Polynésie 09/2008 6 pts 14 1. 12. 2007 1. 13. 1. 14. 1. 15. 1. 16. 1. 17. 1. 18. 1. 19. 1.

Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, la fonction logarithme de base e, c'est-à-dire que le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. On peut en effet définir cette fonction comme la primitive sur ]0,+∞[ et qui s'annule en 1 de la fonction inverse f(x)=\displaystyle \dfrac{1}{x}, et en déduire que sa bijection réciproque est la fonction exponentielle. Cette fonction est notée l. ou l, en tout cas dès le début du XVIIIe siècle1

------------------------------------------------- Le logarithme naturel ou logarithme népérien : Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s'annule en 1. Le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. Historique Ce logarithme est appelé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais

calculer le logarithme du nombre N, il suffit d'appuyer sur la touche log, puis de taper N et enfin d'afficher le résultat en appuyant sur la touche "=". Essayons avec N=100 : logarithme(100)=2. Exercices Ces petits exercices permettront à ceux qui ne connaissent par les logarithmes de prendre contact en douveur avec eux. Utiliser une calculette scientifique. a) calculer le logarithme de 10. Réponse : 1 b) calculer le logarithme de 3. Réponse : 0,4771212 c) calculer le logarithme de 30. Réponse

Exercices fonctions logarithmes 1) Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 8] par : f(x) = 2x 4lnx Exercices Log a) Calculer f(1), f(2), f(4), f(6) et f(8) (arrondir les résultats à 0,1 près) f(1) = 2 x 1 – 4 x ln(1) = 2 ; f(2) = 2 x 2 – 4 x ln(2) = 1,2 ; f(4) = 2 x 4 – 4 x ln(4) = 2,5 f(6) = 2 x 6 – 4 x ln(6) = 4,8 ; f(8) = 2 x 8 – 4 x ln(8) = 7,7 b) Déterminer, pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; 8], la fonction dérivée f ’(x). f (x) = 2 – 4 x 4 =0 x 4 f (x) > 0

CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction inverse x La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 -- qui s’annule en 1. ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. 1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : A = ln 8 B = ln 2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a = ln 24 1 16 1 C = ln16 2 c = ln 8 9 1 1 D = ln 2 4 b = ln144 1 2 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : A = 2ln 3 + ln 2 + ln 1 B = ln 9 − 2ln 3 2 Exercice n°2. Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme népérien

Chapitre 4 Chapitre 4. Fonctions logarithmes Activités et applications f’(x) = 1. Définitions de la fonction logarithme népérien 1– × x – ln (x) 1 – ln(x) f’(x) = x = . x2 x2 Application 2 Activité. On découvre la fonction 1 La fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par F(x) = ln(x) – est x une primitive de f sur ]0 ; + ∞[. Les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont les fonctions G 1 définies sur ]0 ; + ∞[ par G(x) = ln(x) – + k ; k réel x quelconque. 1. On vérifie que ln(5) ≈ 1,609. 2. a) On obtient