Logarithme

(1550 ; 1617) plus connu sous le nom francisé de Neper publie « Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d’un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme (étudié dans les classes terminales du lycée). Ceci peut paraître dérisoire aujourd’hui, mais il faut comprendre qu’à cette époque, les calculatrices n’existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d’usage courant et les opérations posées

ion Démontrer le calcul de cos(a-b) | Définir les propriétés immédiates des logarithmes en base a | Démontrer la formule de la dérivée de arcsin | Trouvez les racine de la dérivée de sin x + cos 2x . | Démontrer la formule de la dérivée de arccos | Faites un tableau du type : | arctg | arccotg | définition | | | schéma | | | dérivée | | | | Démontrer la formule de la dérivée de arctg | Quelle est la formule de tg (a+b) : | Démontrer la formule de la dérivée de arccotg | Ѵ5=

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES EXPONENTIELLES ET LES LOGARITHMES Exercice 1 Courbes de Gauss Soit k Î  * . On définit, sur , la fonction Gk par : + Gk(x) = e - kx 1. Étudier la parité de Gk. 2. Démontrer que Gk est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau de variation de Gk. 3. Calculer G¢¢ et résoudre l'équation G¢¢ (x) = 0. k k 1 4. Tracer les courbes de Gk pour k = , 1 et 2. 2 5. Démontrer que : h  k Û Gh  Gk sur  1 6. Dans cette question k = . Soit a la solution positive de

chiffres d'affaires, elc.),d'autres typesde données, tels lesindices deprixsurdespériodes successives, secomposent nonparaddition maisparmultiplication. Cesopérations lontnaturellement apparaître lesfonctionsexponentielles, tandisquelestonctions logarithmes permettent de revenir à desmodèles additifs. Nousrappellerons simplement ici lespropriétés et I'usage de ces fonctions. Figure1 1.Lesfonctions exponentielles 0 1 x a) Exemple introductif Lesdeuxfonctions exponentielles lesplusutilisées Unepopulation

pas beaucoup plus de bruits que ceux d'un seul marcheur. Par contre, une troupe qui marche, là oui, il y a une belle différence Le phénomène n'est pas simplement additif, mais plutôt multiplicatif, comme dans le monde des logarithmes. b ) échelle logarithmique Un logarithme permet de rendre des nombres très grands et très petits manipulables facilement en même temps. Une échelle logarithmique(Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite [Ox), particulièrement adapté

trigonométriques, vint NEPER (1550-1617) qui inventa les logarithmes. Les astronomes furent ravis de cette découverte et KEPLER (1571-1630) salua l’œuvre de NEPER en 1624. D’une part, Neper et l’un de ses assistants, Briggs, et d’autre part, des astronomes et des horlogers suisses travaillant avec Kepler (astronome allemand qui a énoncé les lois régissant le mouvement des planètes en 1609 et 1619) ont établi les premières tables de logarithmes décimaux, d’emploi plus général que pour les seuls calculs

= = = = Les Logarithmes Les logarithmes sont simplement une méthode différente d’écrire un nombre exponentiel. Ils peuvent être utilisé pour résoudre des équations algébrique lorsque la variable est soit un nombre exponentiel ou encore l’exposant lui-même. Par exemple : = 3 La notation suivante se lit : Logarithme base 2 de 8 est égal à 3. C’est une méthode différente d’écrire le nombre : = 8 Il arrive parfois que la base d’un logarithme ne soit pas précisée. Dans ce cas

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN On a vu dans le chapitre sur les primitives que toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. La fonction "inverse", définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1 , admet donc des primitives. Parmi ces primitives F, x que nous ne sommes pas capables d'expliciter, une seule vérifie la condition F(1) = 0. C'est précisément cette fonction F qui s'appelle logarithme népérien. De cette définition se dégagerons progressivement diverses propriétés qui

a 47 ( =1 C. logarithme décimal et logarithme népérien Si la base du logarithme d’un nombre est égale à 10, ce logarithme s’appelle le logarithme décimal du nombre en question. Par exemple = 3 ou = 2,079. D’habitude en écrivant le logarithme décimal on n’indique pas la base et on écrit par exemple : log1000 = 3, log120 = 2,079 ou log0,75 = -0,125. Si la base du logarithme d’un nombre est égale à e (e = 2,7182818.. .), ce logarithme s’appelle le logarithme népérien du nombre en question

on utilise le logarithme pour éliminer l’exponentielle (et inversement, on utilise l’exponentielle pour éliminer le logarithme). VI. Logarithme Fonction Dérivée Rappel : lors d’une équation ou d’une inéquation, s’il y a du logarithme des deux côtés, on peut les « supprimer ». Ex : cela équivaux à dire a<b. On utilise l’exponentielle pour éliminer le logarithme (et inersement, on utilise le logarithme pour éliminer l’exponentielle). Exemple : - Un logarithme est : - strictement