Logarithme

Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici une présentation naïve. Exemple introductif : si beaucoup de grandeurs, tels les poids, les bénéfices, les durées, s’ajoutent, d’autres valeurs, tels les indices, se multiplient ; supposons ainsi une population animale qui s'accroît de 3 % chaque année, si elle part de la taille P 0, elle vaudra les

fonctions ne suffisent pas pour les besoins de l’analyse. Pour la résolution d’équations différentielles par exemple (une tâche fondamentale en physique), ou même simplement pour trouver des primitives, il faut construire de nouvelles fonctions : le 1 logarithme népérien comme la primitive de x → s’annulant en 1 n’est pas le seul x 1 1 , ou même de ? exemple : quelles sont les fonctions primitive de x → √ 2 1 + x2 1+x C’est ce que nous allons découvrir dans ce chapitre. Les fonctions étudiées ici ne sont

le site du cours de Maths : http://mathjeandu.perso.sfr.fr  Les corrections seront également bientôt disponibles à cette même adresse. • • • • • • • • • • • • • • ET1 : Suites et récurrence. ET2 : Suites et probas. ET3 : Suites et intégrales. ET4 : Étude de fonction logarithme. ET5 : Étude de fonction exponentielle. ET6 : Nombres complexes et géométrie. ET7 : Nombres complexes et transformations. ET8 : Probabilités conditionnelles. ET9 : Probabilités et variables aléatoires discrètes. ET10 : Probabilités et variables aléatoires continues

année universitaire 2011/2012 Université El Hadj Lakhar Batna Département Maths-Informatique 1 année LMD Analyse 01 Logarithmes et exponentielles I Fonction logarithme népérien y 1 0 1 x • Définition et graphe Elle est définie pour x > 0 par : 1 ∀x > 0 (lnx) = · x Elle est strictement croissante. lim+ ln x = −∞; lim ln x = +∞. x→0 x→+∞ ln 1 = 0 ; L'unique solution de l'équation ln x = 1 est notée e (e ≈ 2,718 ). • Propriétés algébriques ∀a > 0 ∀b > 0 ∀r ∈ Q ln (ab) = ln a + ln

= ½ x -∞ 0 +∞ f(x) 0 +∞ -∞ 0 La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole d'équation y = 1/x. Cette courbe admet l'origine du repère comme centre de symétrie. 6/ La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien, noté ln, est la fonction définie et dérivable sur ] 0 ; +∞ [ telle que ln'x = 1/x et ln1 = 0 On dit aussi que la fonction ln est primitive sur ] 0 ; +∞ [ de la fonction qui à x associé 1/x qui s'annule en 1. Sens

47 Unité 2 Primitives, logarithmes et exponentielles 89 Séquence 1 Fonctions primitives ; calcul intégral ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 91 Séquence 2 Fonction logarithme népérien ..............

ordre. Les solutions sont respectivement : y = keax et y = keax -b/a On étudie ici le cas général. La fonction exponentielle correspondant à y' = y et y(0) = 1 étant supposée connue, par exemple en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ou en tant que fonction f, non nulle, dérivable sur R, telle que f(x + y) = f(x) f(y) et f(0) = (0) : Les fonctions x a(x), x b(x) et x c(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à

polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale à la fonction polynôme) © Gérard Hirsch – Maths54 3 Calcul d’intégrales - Intégration par parties • Cours d’une fonction polynôme et d’une fonction logarithme (avec u égale à la fonction logarithme) • d’une fonction exponentielle et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale indifféremment à la fonction exponentielle ou à la fonction sinus ou cosinus) Remarque il faut parfois répéter plusieurs fois la méthode

. 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . 1.6.2 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Primitive s’annulant en a . . . . . . . . . . . .

1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . 9 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.2 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . .