Logarithme

) = log 10 x3-log y3/2 Y3 = log (10) + log x3- log y3/2 = log 10+3log x- 3 log y 2 En supposant que le log dans ce cas est le logarithme décimal On a que log( 10) = 1 donc on a : 1 + 3 a - 3 b 2 Réponse 10 : FV = PV (1+i)n 12000 =8000 (1 +0.05 )n (1.05)n= 12000 8000 1.05n = 1.5 Comme n est l’exposant qu’il faut donner à 1.05 pour obtenir 1.5, on utilise le logarithme : N = log1,051,5= log 1.5 = 0.17609 = 8.31 années Log 1,05 0.21189 Réponse 11 : a) A12+a23 = 6 + 1 = 7 3 b) ∑ a3,j = a31 + a32+

pour les installer sur le vôtre. FONCTIONS USUELLES PLAN I : Fonctions exponentielles 1) Exponentielles et logarithmes 2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 3) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires 1) Fonctions trigonométriques 2) Réciproque des fonctions trigonométriques Annexe : trigonométrie I : Fonctions exponentielles 1– Exponentielles et logarithmes 1 u ln(x) est la primitive de définie sur ]0, +∞[ et s'annulant en x = 1. Autrement dit : x x 1 ln(x) = ⌠ 

Différent Addition Soustraction Multiplication Division Puissance Concaténation ( chaine de charactrére) sinus ; cosinus ; tangente arccosinus ; arcsinus ; arctangente sinus ; cosinus ; tangente hyperbolique racine carée Exponentielle Logarithme néperien Logarithme décimal Valeur absolue Reste de la division eniére Module Maximum Minimum Partie imaginaire Conjugué PROGRAM END PROGRAM IMPLICIT NONE Déclaration TYPE[,option] :: nom_de_la_variable LOGICAL INTEGER REAL DOUBLE PRECISION COMPLEX DOUBLE

Devoir – Logarithme Népérien Exercice 1: Soit f la fonction définie par f  x = ln x 1 x sur ]0 ;∞[ 1) a) Calculez la limite en 0 de f . b) On admet que la limite de f en ∞ est 0. Quelles conséquences graphiques peut-on déduire de ces limites? ln x  2) a) Montrer que f '  x=− 2 x f '  x puis dressez le tableau des variation de f . b) Etudiez le signe de 1 1 3) a) Calculez f et f ' et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point e e 1 d'abscisse . On notera T cette tangente.

Chapitre 5 La fonction logarithme népérien Pour prendre un bon départ (page 118) Activité 1 2 1. a) f (1 × 1) = f (1) + f (1) donc f (1) = 0 . b) f est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ donc g est dérivable et pour tout réel y > 0 , g ′(y) = x f ′(xy) = f ′(y) . c) Donc pour réel x > 0 , g ′(1) = f ′(1) = x f ′(x) , donc : f ′(1) f ′(x) = ----------- . x 2. a) Pour tout réel y > 0 , h ′(y) = x f ′(xy) – f ′(y) . kk -- -- Or f ′(xy) = ----- et f ′(y) = -- , donc h ′(y) = k – k = 0 . xy y y y b) Donc

et de divisions et qu’il est pratique de transformer ces opérations en suites d’additions et de soustractions, autrement dit de passer par le concept logarithmique.  On remplace alors le coefficient caractérisant la fonction considéré par son logarithme à base 10. Ce nombre est exprimé en Bel. Le décibel Le Bel est une unité qui est peu utilisé, on lui préfère un multiple : le décibel. Définition Il existe 3 façons équivalentes de calculer des décibels :  GdB = 10 log10 (Ps/Pe )  GdB = 20

charger pour étendre le nombre d’opérateurs  En ajoutant au début du script from math import * , le module mathématique est chargé. Les fonctions mathématiques suivantes sont accessibles : sqrt(x) (racine carrée), exp(x), log(x) (logarithme népérien), log10(x) (logarithme décimal), fabs(x) (valeur absolue), floor(x) (partie entière), etc. Le module définit aussi deux constantes mathématiques: pi et e.  En ajoutant au début du script from random import* , le module aléatoire est chargé. Une série

l'arbre de probabilités pour calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes. 3°) En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur. Exercice 1 1°) Quelle est la fonction dérivée de la fonction logarithme (notée ln) sur ]0 ;+([ ? Justifier le sens de variation de cette fonction sur son ensemble de définition. 2°) On sait que ln2( 0,693 et que ln7( 1,946 . Sans utiliser de calculatrice précisez si l'équation ln x=1,5 admet une

strictement positif -  +  5. La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale une asymptote horizontale une tangente horizontale 6. eln x = x pour tout appartenant à ]0 ; + [ [0 ; + [ 7. Soit un réel a, ln(ea) – 2e + ln(1) = ea – 2e + e ea – 2e a – 2e 8. Soient et des réels strictement positifs, eln a + e - ln b = - ab a – b 9. Une primitive de la fonction logarithme népérien sur [0 ; + [ 10. Pour tout réel strictement inférieur

Tableau de variations de h D'après les questions précédentes : x h '(x) h(x) 0 – +∞ e 0 + +∞ +∞ 0 On a h(e) = e − e ln(e) = e − e = 0. D’après ce tableau h(x) = 0 ⇐⇒ x = e. L’équation Ee, xe =e x est équivalente (en appliquant le logarithme népérien) à e ln(x) = x ⇐⇒ h(x) = 0. Conclusion : l’équation Ee a une solution unique e. II Résolution de l’équation Ea 1. Soit x un réel strictement positif. Montrer que x est solution de l’équation Ea si et seulement si x est solution de l’équation