Logarithme

En quoi les logarithmes sont utiles dans les sciences ? Aujourd’hui, on va se poser la question suivante: En quoi les logarithmes sont utiles dans les sciences? J’ai choisi ce sujet car la fonction logarithme est très importante et je sais que je vais la retrouver assez souvent dans le supérieur. Donc j’ai profité de cette occasion pour connaître l’utilité des logarithmes pour la suite de mes études. De plus, dans le chapitre que j’ai étudié sur le logarithme népérien, on a abordé partiellement l’histoire

d’effectuer de nombreux calculs. J’expliquerai d’abord comment les logarithmes inventés par John Napier (1550-1617) permettent d’effectuer des multiplications de grands nombres en minimisant le temps et le risque d’erreurs, j’évoquerai ensuite les idées mathématiques qui ont permis cette découverte et je donnerai enfin de nombreux exemples d’applications de ce procédé qui soulagea tant de scientifiques. I. Multiplier à l’aide des logarithmes À une époque où tous les calculs se faisait à la main, la

(H3O+) qui peut varier de 1 mol.L-1 à 10-14 mol.L-1. L’utilisation de telles (valeurs est parfois difficile (problème sur un graphe) on utilise donc le pH. Pour des solutions diluées le pH est donnée par : pH = - log [H3O+] log : logarithme décimal [H3O+] représente la valeur de la concentration exprimée en mol.L-1 (car log uniquement pour nombre sans dimension) Cette relation est équivalente à [H3O+] = 10-pH Nous constatons

Problèmes et exercices Exercice 1 : notion de décibel Solution 11. La L b bande d de d motards produit huit fois plus de puissance sonore qu’une seule moto. On a : 10 × log10 (8S) = 10 × log108 + 10 × log10S, ce qui revient à ajouter 10 fois le logarithme décimal de 8 au bruit d’une moto pour obtenir le nombre de décibels produit par les huit motos. Puisque : 10 × log108 = 10 × log1023 = 3 × 10 × log102 = 9 dB, la puissance des huit motos vaut : S = 87 + 9 = 96 dB. 2. Cela correspond à une puissance

Problèmes et exercices Exercice 1 : notion de décibel Solution 1 La b d de motards produit huit fois plus de puissance sonore qu’une seule moto. 1. L bande d On a : 10 × log10 (8S) = 10 × log108 + 10 × log10S, ce qui revient à ajouter 10 fois le logarithme décimal de 8 au bruit d’une moto pour obtenir le nombre de décibels produit par les huit motos. Puisque : 10 × log108 = 10 × log1023 = 3 × 10 × log102 = 9 dB, la puissance des huit motos vaut : S = 87 + 9 = 96 dB. 2. Cela correspond à une puissance

. . . , 9}))) ? Solution Puisque card({0, 1, . . . , 9}) = 10, on a tout d’abord l’égalité card(P({0, 1, . . . , 9})) = 210 = 1024 , puis card(P(P({0, 1, . . . , 9}))) = 21024 . Pour déterminer le nombre de chiffres de ce nombre, on utilise le logarithme décimal (noté log). En effet, si un nombre entier A s’écrit p ak 10k , A= k=0 avec ap = 0, et 0 ≤ ak ≤ 9 si k est compris entre 1 et p, alors, on peut écrire A = B · 10p où p ak 10k−p . B= k=0 Mais p 1≤B≤9 ∞ k−p 10 k=0 10−k = <9 k=0

Te ES Cours Les fonctions exponentielles Le chapitre sur les suites géométrique introduit un modèle applicable aux évolutions discrètes (c’est-à-dire régulières et constantes). Citons en exemples les calculs d’intérêts annuels, la dévaluation d’un bien immobilier, la datation au carbone 14, etc. Dans la réalité, ces modèles ont besoin d’être affinés. En effet, le montant présent sur un compte varie durant l’année. Comment calculer les intérêts avec justesse ? La vente d’un bien immobilier

puis la fonction f. La notion de composition a été abordée en classe de première. Il s'agit ici de rappeler les résultats essentiels concernant le sens de variation et les limites de la fonction composée. On verra plus tard, à propos des fonctions logarithmes et exponentielles, que ces fonctions peuvent être composées avec d'autres fonctions de référence. 1. Que signifie f o g (« f rond g ») ? • Le symbole « o » est le signe d'une opération appelée composition effectuée sur les fonctions f et g. Pour

Histoire de la découverte du nombre e L’invention des logarithmes L’histoire du nombre e débute en Suisse, grâce aux travaux de John Napier (ou Neper, selon les traductions, dont le portrait est présenté ci-dessous). Fort de ses études à la St-Andrews University, il consacre une bonne partie de sa vie à la gestion et à l’administration de ses terres. Les mathématiques le fascinent particulièrement et en 1614, il publie un manifeste qui lui prit près de vingt ans à rédiger, le Mirifici logarithorum

Règles de base pour les sommes finies 4 1.3 Sommations doubles 5 Note : L'opérateur produit 7 Exercices sur l'opérateur sommation 7 2. Les logarithmes et la fonction exponentielle 10 2.1 Les exposants 10 2.2 Les logarithmes 11 2.3 La fonction exponentielle 14 2.4 Pourquoi les logarithmes népériens ? 17 Solutions des exercices sur l'opérateur sommation 18 Méthodes quantitatives, © André Lemelin, 2004 Outils mathématiques de base 1-A