Loi binomiale négative

. . . . . . . . . . . . . . . . e ` 3.1 Quelques s´ ries a connaˆtre . . . . . . . . . . . . . . . . e ı 3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ e 3.3 Loi de Poisson (loi des ev´ nements rares) . . . . . . . . 3.4 Loi g´ om´ trique ou loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . e e 3.5 Loi g´ om´ trique g´ n´ ralis´ e ou loi binomiale n´ gative . e e e e e e 3.6 Loi hyperg´ om´ trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La loi de Pascal, ou loi binomiale négative, est une loi de probabilité discrète qui trouve à s’appliquer dans un schéma de Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès. La loi binomiale négative exprime

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

non N’a pas tout plein de chiffre après la virgule Variable qualitative (couleur de cheveux, niveau de satisfaction, sexe, type de c/) Variable quantitative discrète (nb de cas de grippe dans une famille de 5pers, nb de jeune dans une portée…) Loi de proba : somme des proba = 1 Espérance : C’est la valeur moyenne de X : μ Propriétés : (X et Y, 2 v.a discrètes def sur le même univers) E(XY) = E(X) E(Y) E(aX) = aE(X) E(a+X) = a + E(X) Soit Z = X-E(X), E(Z) = E[X-E(X)] = E(X)-E[E(X)]

Introduction…………………………………………………………………………….…4 2. Lois discrètes……………………………………………………………………………..4 2.1. Loi uniforme…………………………………………………………………………………………..4 2.1.1. Définition……………………………………………………………………………..….4 2.1.2. Espérance et variance…………………………………………………………..5 2.2. Loi de Bernoulli……………………………………………………………………………………..5 2.2.1. Définition………………………………………………………………………………...5 2.2.2. Espérance et variance………………………………………………………….5 2.3. Loi Binomiale………………………………………………………………………………………….6 2.3.1. Définition……………………………………………………………………………

discrètes  Variables indicatrices On appelle variable indicatrice de l’évènement A, une variable aléatoire X qui associe à A la valeur 1 et à B la valeur 0. Si P(A)=succès, alors P(B) = q = 1-p (échec), on a : P(X=1)=p P(X=0)=q E(X)=p V(X)=p(1-p).p.q  Loi discrète uniforme Expérience aléatoire associée à X une variable aléatoire avec n résultat possible X(Ω)=(x1,x2,…,xn) La distribution de probabilité de X est uniforme si, ( ) ( ) Paramètre : o o o ( ) ( ( ) ) ( ∑ ∑ ) ( ) ∑ B –

IMPRESSION LE 23 juillet 2014 à 16:31 Rappels de probabilité Probabilité conditionnelle Loi binomiale Table des matières 1 Rappels 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opération sur les événements . . . . . . . 1.2.1 Événement contraire . . . . . . . . 1.2.2 Intersection de deux événements . 1.2.3 Union de deux événements . . . . 1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Loi équiprobable . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . .

Déterminer la loi de probabilité de X.(0,5 pt) La variable aléatoire X correspond au nombre de fois que Claude est contrôlé au cours des 40 trajets. Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; … ; 40} X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p. Pour tout nombre entier k[pic]{0 ; 1 ; 2 ; … ; 40}, on a : P(X=k) = [pic][pic] p k [pic] (1 – p) 40 – k 2) Dans cette partie on suppose que p = [pic] . a) Calculer l’espérance mathématique de X. (0,25 pt) Comme X suit la loi binomiale

Avant-propos Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et de la statistique. Il couvre l'analyse combinatoire, le calcul des probabilités, les lois de probabilités d'usage courant et les tests d'adéquation à une loi. Ce support correspond approximativement aux enseignements en L2 de la lière Sciences Économiques et Gestion, Administration Économique et Sociale (AES). Un document ne vient jamais du néant. Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur diérentes

appliquera alors les règles suivantes : « exp(X) > 0 pour tout réel X » et « ln(X) < 0 sur ]0 ;1] »… Dans certains cas, on pourra se servir des variations de f pour étudier son signe. Si par exemple f est croissante sur IR avec f(1) = 0 alors f est négative avant 1 et positive après. Comment peut-on lever une forme indéterminée en l’infini ? On applique la règle des fonctions rationnelles : « en l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus degré