Loi des cosinus

La loi des cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore. Dans un triangle, si C est un angle droit, puis a2 + b2 = c2. La Loi de cosinus que cos ab 2 C = c2 - a2 + b2. Mais si C n'est pas 90 °, alors que l'angle a perdu son statut spécial. Ainsi, la loi des cosinus doit s'appliquer à d'autres variables donné. Alors a2= b2 + c2 - 2 cos A bc a2 + c2 - 2 cos B ac = b2. La loi des cosinus peuvent être utilisés pour résoudre les triangles de type SAS et SSS. Pour résoudre

RÉVISION Réactivation 1 Les vecteurs 4 Page 4 2) Le cosinus de cet angle aigu. 2) 2) 2) a. 1) Le sinus de cet angle aigu. 3) La tangente de cet angle aigu. b. 1) c. 1) d. 1) 4,76 cm 7,09 cm 75,96° 3,1 cm 8,89 cm 79,11° Page 5 Réactivation 2 a. Il s’agit d’un triangle scalène et obtusangle. b. Loi des cosinus : (m ND )2 c. À 124,5 km. m ND m PN sin D m PD sin N (m PN )2 (m PD )2 2(m PN )(m PD ) cos P d. Loi des sinus : sin P e. f. 9,58° 24,58° Mise à jour Page

3 n'existe pas Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul (leur angle forme 90°). Pour noter que les vecteurs u et v sont orthogonaux, on écrit u v Théorème d'Al Kashi La loi des cosinus s'énonce de la façon suivante : Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. 2. LES

GEOMETRIQUE DES VECTEURS ( ) Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de géométrique. La somme de deux vecteurs : c’est une opération commutative. On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus ( que nous démontrerons plus tard : D = V12 + V2 2 A.FIZAZI 2VV cos 1 2 Univ-BECHAR ! " #) (2.2) LMD1/SM_ST 18 Rappel sur le calcul vectoriel V2 V2 V V V = V1 + V2 V = V2 + V1 V1 V1 Pour

vecteurs et k un nombre réel. • (symétrie). • (linéarité) • (linéarité) • (linéarité) • (identite remarquable) • (identite remarquable) • (identite remarquable) IV. Applications du produit scalaire : 1. produit scalaire et cosinus : Propriété : Soit et non nuls. 2. Théorème d'Al-Kashi : Théorème : Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a. On a : • • • 3. Théorème de la médiane : Théorème : Soient A et B deux points distincts et I le milieu

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique : [pic]= –2[pic]2 + (–3)[pic](–3) = 5. On en déduit que : cos[pic]= [pic]. Donc, avec la calculatrice, on obtient : [pic][pic]67,38°. Ex 72 Le vecteur [pic] de coordonnées ([pic]–

Exercice n°71 page 180 Soit x le nombre de filles et y le nombre de garçons. Au total, il y a 440 élèves donc : 440 = … + … Puis, on compte 20% de filles de plus que les garçons donc : x = … Tu obtiens alors deux équations à deux inconnues : rassemble-les, elles constituent un système que tu dois résoudre (utilise la méthode de ton choix parmi celles décrites dans les pages 172, 173 et 174 de ton manuel). Exercice n°72 page 201 a) Suis bien la démarche de construction donnée. Attention,

sinus) : Avec les mêmes notations que ci-dessus, . ̂ ̂ sin A sin B sin Ĉ ̂ ̂ ̂ sin A sin B sin C = = Remarque : • On écrit aussi parfois a b c • Il suffit de connaître un côté et deux angles pour calculer les autres côtés. IV) Formules d'addition du cosinus et sinus Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : • cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b) • sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) • cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) • sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b) Démonstration

Triangles rectangles 1 Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Exemple 1 : Calcul de la longueur de l'hypoténuse Soit MER un triangle rectangle en E tel que ME = 9 cm et ER = 6 cm. Calcule la valeur exacte de MR puis donne la valeur arrondie au millimètre. Figure à main levée : Le triangle MER est rectangle en E