Loi des cosinus

flottaient derrière ses oreilles. – A quoi travaillez-vous donc si tard ? demanda Mme Du Joncquoy. Je vous croyais à la réception du ministre des Finances. - 91 - Mais la comtesse intervint. – Mon père avait à étudier un projet de loi. – Oui, un projet de loi, dit-il, un projet de loi, précisément… Je m’étais enfermé… C’est au sujet des fabriques, je voudrais qu’on observât le repos dominical. Il est vraiment honteux que le gouvernement ne veuille pas agir avec vigueur. Les églises se vident, nous allons

fournisseurs. Souvent on essaie de regrouper dans un même module des ensembles de fonctions apparentées, que l’on appelle des bibliothèques. Le module math, par exemple, contient les définitions de nombreuses fonctions mathématiques telles que sinus, cosinus, tangente, racine carrée, etc. Pour pouvoir utiliser ces fonctions, il vous suffit d’incorporer la ligne suivante au début de votre script : from math import * Cette ligne indique à Python qu’il lui faut inclure dans le programme courant toutes

phases. On obtient ainsi un système d’équa- À l’intérieur d’un liquide, les forces de cohésion entre les particules sont équilibrées – ce n’est pas le cas en surface (schéma : Schmid Rhyner) L’équation de Young permet de calculer, à partir du cosinus de l’angle de contact, la tension superficielle du solide La tension superficielle désigne le rapport d’une interface entre un liquide (par ex. l’eau) ou un solide (par ex. un film) et un gaz (par ex. l’air) – c’est pourquoi on parle également

avec H comme cidessus. Pour n fixé, déterminer les valeurs minimale et maximale possibles de cette entropie. Interpréter. Exercice 1.50 (Maximum de vraisemblance) Soit X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes et qui suivent la même loi normale de moyenne m et de variance v. On appelle vraisemblance de l’échantillon x = (x1 , . . . , xn ) la fonction définie sur Ê×]0, +∞[ par : 1 e− fx (m, v) = (2πv)n/2 Pn 2 i=1 (xi −m) 2v , et log-vraisemblance de l’échantillon la fonction ℓx

n∆A∆t, avec n le vecteur unitaire normal ` la surface ∆A. a (5.7) (5.6) ∆I . ∆A (5.5) 5.1.4 Champ ´lectrique cr´e par une charge ponctuelle e e Une charge ´lectrique ponctuelle q g´n`re dans l’espace un champ ´lectrique e e e e d´crit par la loi de Coulomb : e E= q er · , 4πε0 r2 (5.8) avec ε0 la permitivit´ ´lectrique du vide et ε0 = 8, 854187 · 10−12 F · m−1 ee 5.1.5 Champ ´lectrique cr´e par un fil charg´ de longueur e e e infinie q r l l P E Fig. 5.1 – Champ ´lectrique g´n´r´

y−1 = 1 − y−1 = 1 − x−2 . + y−2 y−1 . Finalement F (x) = 1 + 3 2 1 1 + + − 3 2 (x − 1) (x − 1) x−1 x−2 7 Chapitre 2 Espaces vectoriels 2.1 D´finitions et Notations e D´finition 2.1.1 Soit E un ensemble. On dit que ∗ est une loi de composition interne si ` e a 2 on sait faire correspondre un ´l´ment de E not´ x ∗ y. tout couple (x,y) de E ee e Exemple 2.1.1 i) E = IR (x,y) −→ x + y ; ii) E = F(IR,IR) (f,g) −→ f ◦ g. D´finition 2.1.2 On dit que (E,∗) est un groupe si e (G1)

2 7.3 TP-1 TP-2 TP-3 Exercice TP3.1. Calculer a. f (2) si f (x) = ln(x2 + 1) b. g (e) si g(x) = xx c. h ( π ) si h(x) = xesin(x) 6 d. ( π ) si (x) = 3 x . 5+cos(x) Corrigé à la page 208. Exercice TP3.2. Une population de bactéries croît selon la loi p(t) = a2bt . Au temps t = 2, on mesure p(2) = 640, et au temps t = 3, on mesure p(3) = 5120. a. Calculer a et b. b. En combien de temps la population est-elle doublée ? Corrigé à la page 208. 69 70 CHAPITRE 7. TRAVAUX PERSONNELS 2009 (ULB) Exercice

TP-2 7.3 TP-3 Exercice TP3.1. Calculer a. f ′ (2) si f (x) = ln(x2 + 1) b. g ′ (e) si g(x) = xx c. h′ ( π6 ) si h(x) = xesin(x) d. ℓ′ ( π3 ) si ℓ(x) = x . 5+cos(x) Corrigé à la page 208. Exercice TP3.2. Une population de bactéries croît selon la loi p(t) = a2bt . Au temps t = 2, on mesure p(2) = 640, et au temps t = 3, on mesure p(3) = 5120. a. Calculer a et b. b. En combien de temps la population est-elle doublée ? Corrigé à la page 208. 69 70 CHAPITRE 7. TRAVAUX PERSONNELS 2009 (ULB) Exercice

fournisseurs. Souvent on essaie de regrouper dans un même module des ensembles de fonctions apparentées que l'on appelle des bibliothèques. Le module math, par exemple, contient les définitions de nombreuses fonctions mathématiques telles que sinus, cosinus, tangente, racine carrée, etc. Pour pouvoir utiliser ces fonctions, il vous suffit d'incorporer la ligne suivante au début de votre script : from math import * Cette ligne indique à Python qu'il lui faut inclure dans le programme courant toutes

1= fi+, /ZG dx En faisant un changement de variable convenable, calculcr la valcur de l'intégrale 1 (On ne dcinande pas de chcrchcr unc primitive) Solution Il suffit de choisir ie changement de variable qui transforme le sinus en cosinus. Posons x = n - 1 donc dx = - dt et O a : n D'auue part : 1 + J = I i . dx= - . TC D'où 1 = J = a. n 134 Intégrale Soit f une fonction continue sur [à,b]. On considère u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle