Loi des grands nombres

vigueur. LA LOI DES GRANDS NOMBRES Le théorème de De Moivre-Laplace Denis Lanier Didier Trotoux IREM de Basse-Normandie "Pour beaucoup d'esprits, une probabilité calculée à sept ou huit décimales près est beaucoup plus convaincante qu'un argument fondé sur des considérations qualitatives. Ces esprits oublient que si le calcul en question est fondé sur des éléments statistiques, qui ne sont donc pas numériquement précis, le nombre de décimales est une pure illusion. Ce nombre fait croire

............................... 6 C- Exemples de lois de probabilités discretes...................................................................................... 9 I - La Loi Binomiale ......................................................................................................................... 9 II - La Loi de poisson....................................................................................................................... 9 D - Les lois de probabilités continues ....

pour c = E S. La distance d1 (S, c) := E |S − c| est minimale pour c = médiane(S). Solution pas acceptable si P(S = 0) est grand, par exemple en assurance automobile. Ch. Suquet (Lille 1) Assurances et probabilités 12 avril 2007 4 / 23 Prime pure 2 Théorème (loi des grands nombres) Supposons les montants de sinistres S1 , . . . , Sn indépendants et de même (n) loi ayant une espérance commune E Si = µ. Notons S la charge moyenne de sinistre par police. Alors S (n) 1 = n n i=1

G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2.1 Variable al´atoire discr`te . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . . . . . . e e 3.2.3 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Lois discr`tes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´els . . e 3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hyperg´om´triques

de sorte qu’ils se compensent entre eux : C’est le principe de la mutualisation des risques. Toutefois, pour que l’ensemble du dispositif ne soit pas mis en péril, les risques intégrés à la mutualité doivent être : Homogènes : il faut réunir un grand nombre de risques de même nature, qui ont les mêmes chances de se réaliser et qui occasionneront des débours du même ordre ; Dispersés : éviter de regrouper les risques qui ont des chances de se réaliser en même temps et au même endroit : dans ce cas

considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s. Soit alors = m et = s 1.2 Deux théorèmes fondamentaux Th 1 : Loi faible des grands nombres Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e : Signification: Lorsque n devient très grand, le nombre de valeurs de la variable aléatoire Yn qui sont éloignées de m devient

PROBABILITES et STATISTIQUES Cours et exercices C. Reder IUP2-MIAGE Bordeaux I 2002-2003 1 SOMMAIRE I- Le modèle probabiliste 1- Evènements 2- Loi de probabilité, espace de probabilité 3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables 4- Exercices II- Probabilités conditionnelles 1- Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité

. . 2 1 1.2.1 Gï¿ 2 nï¿ 1 ralitï¿ 1 s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1.2.2 Loi de probabilitï¿ 1 d’une variable alï¿ 1 atoire . 2 2 1 1.2.3 Fonctions de rï¿ 2 partitions . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Variables alï¿ 1 atoires discrï¿ 1 tes . . . . . . . . 2 2 1.2.5 Variables alï¿ 1 atoires continues . . . . . . . . . 2 1 1.3 Convergences de suites de variables alï¿ 2 atoires . . . . 1.3.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Convergence en probabilitï¿ 1 . . . . . . .

entier naturel, on dénit une loi de probabilité en leur associant n nombres réels p1 , p2 , ..., pn tels que : • pour tout i allant de 1 à n, 0 ≤ pi ≤ 1 ; • p1 + p2 + ... + pn = 1. Propriété (loi des grands nombres) : Si on répète une expérience aléatoire d'univers E = {x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn } un  grand nombre de fois  et pour une loi de probabilité adaptée à la situation, alors les fréquences de réalisation des issues xi se stabilisent autour des nombres pi Exemple : On jette

G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2.1 Variable al´atoire discr`te . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . . . . . . e e 3.2.3 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Lois discr`tes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´els . . e 3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hyperg´om´triques