Majorant

la première suite tout en haut, on aurait ). - On peut donner son premier terme et une relation générale qui relie deux termes consécutifs. On dit alors que la suite est définie par récurrence. Pour le deuxième exemple, on aurait . Variations, majorant, minorant Une suite est dite croissante si le terme est toujours plus grand que le terme . Pour démontrer qu'une suite est croissante, on peut calculer et montrer que le résultat est positif. Pour le premier exemple, cela démontre que cette

f strictement décroissante ? Calculer les images des points « en hauts et en bas des flèches » c) Extremum local Les extremum local sont les f(x) pour f'(x) = 0 Minimum local: le plus bas Maximum local: le plus haut d) Majorant, minorant Majorant de f sur I: un nombre M tel que pour tout x de I, f(x)? M Minorant de f sur I: un nombre N tel que pour tout x de I, N ? f(x)

courbes 1. Majoration et minoration de fonctions Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition. Définitions ( ∀x ∈ I ) M est un majorant de f m est un minorant de f f (x) f (x) M m Remarque : tout extremum est majorant ou minorant d’une fonction sur un intervalle, mais la réciproque est fausse. Autrement dit, un majorant ou un minorant n’est pas nécessairement atteint. Une fonction f est bornée sur un intervalle I, si elle est à la fois majorée et minorée. 2. Positions

Exercices - Formules de Taylor : ´nonc´ e e Exercice 1 - Un encadrement de cos(1/2) - L1/Math Sup Soit a > 0. 1. D´montrer que e cos a − 1 + a5 a2 a4 ≤ . − 2! 4! 5! 2. En d´duire que e 337 1 337 1 − ≤ cos(1/2) ≤ + . 384 3840 384 3840 Exercice 2 - In´galit´ - L1/Math Sup e e D´montrer que pour tout x ∈ [0; +∞[ : e 1− x 2x2 1 x 2x2 14x3 ≤1− + + − ≤ √ . 3 3 9 81 3 9 1+x Exercice 3 - Valeur approch´e de ln(1, 003) - L1/Math Sup e Soit x un r´el

E4A 2002 Math 2 exercice 2 Remarque préliminaire : les fonctions un sont dé…nies sur R et impaires. on ne restreint pas l’ étude en supposant x 0 1a) P si x = 0 on a pour tout n , un (x) = 0 donc la série un (0) converge P 1 1 si x 6= 0 on a un (x) n >+1 x n 1+1 . Les séries sont à termes positifs . La série de Riemann n +1 converge car P + 1 > 1 . On a donc la convergence de un (x) . P un converge simplement sur R+ p On peut remarquer que un (1= n) = 1 1 1=2 on a une série de Riemann divergente

1, u n 0. Ainsi min A = 0. 4.2. Majorants, minorants Définition 8 Soit A une partie non vide de R. Un réel M est un majorant de A si ∀ x ∈ A x Un réel m est un minorant de A si ∀ x ∈ A x m. M. Exemple 5 – 3 est un majorant de ]0, 2[ ; – −7, −π, 0 sont des minorants de ]0, +∞[ mais il n’y a pas de majorant. Si un majorant (resp. un minorant) de A existe on dit que A est majorée (resp. minorée). Comme pour le minimum et maximum il n’existe pas toujours de majorant ni de minorant, en plus on n’a pas

MathCONSTRUCTION DU CORPS DES REELS Said EL HAJJI : elhajji.said@gmail.com Laboratoire Math´ matiques, Informatique et Applications e http://www.fsr.ac.ma/mia/ Outline Contents 1 2 3 Notion de fonction et notations Propri´ t´ s de base ee Majorant, minorant d’une partie de R 3.1 Borne inf´ rieure, borne sup´ rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4 1 Notion de fonction et notations Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit

TS 5°) Propriété Limites de suites (3) • Si un réel M est un majorant d’une suite u, alors tous les réels supérieurs ou égaux à M sont aussi des majorants de la suite u. I. Rappels sur les suites majorées, minorées, bornées • Si un réel m est un minorant d’une suite u, alors tous les réels inférieurs ou égaux à m sont aussi des minorants de la suite u. 1°) Définition 1 (suite majorée, minorée, bornée) u est une suite. • On dit que u est majorée pour exprimer qu’il existe un réel M tel que

irrationnels . . . . . . . . . . . . . . 1.3 L’ordre dans IR . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Partie enti`re d’un nombre r´el x : E(x) e e 1.5 Les intervalles ouverts et ferm´s dans IR e 1.6 Les intervalles dans IR . . . . . . . . . . 1.7 Minorant, majorant . . . . . . . . . . . . 1.8 Borne sup´rieure . . . . . . . . . . . . . e 1.9 Borne inf´rieure . . . . . . . . . . . . . . e 1.10 L’axiome de la borne sup´rieure . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . La relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distance dans R : valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 14 15 Majorant, minorant, borne inf´rieure, borne sup´rieure . . . . . . . . . . . . . e e 1.3.1 1.3.2 D´finitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e La propri´t´ de la borne sup´rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee