Majorant

(b) Sur les intervalles suivants, déterminer si l’intervalle est majoré, minoré, s’il admet un plus petit majorant, un plus grand minorant, s’il existe un maximum, un minimum et s’il est borné. i. ]−∞, 4]  majoré : 4 / minoré : non plus petit majorant : 4 / plus grand minorant : non max : 4 / min : non borné : non car non minoré ii. [−6,1[  majoré : 1 / minoré : -6 plus petit majorant : 1 / plus grand minorant : -6 max : non / min : -6 borné : oui car majoré et minoré Exercice IV (5pts) Développez

3 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1], fn (x) est le terme g´n´ral d’une suite altern´e, d´croissante en module et e e e e de limite nulle. On peut donc dire que (fn (x)) converge par r`gle sp´ciale ET que e e +∞ n n ∀n ∈ N , k=n+1 ∗ fk (x) ≤ |fn+1 (x)| ≤ 1 n+1 Le majorant est ind´pendant de x ∈ [0, 1] et est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle. e e e (fn ) est donc uniform´ment convergente sur [0, 1] e Par th´or`me de continuit´ des sommes de s´ries de fonctions, e e e e L ∈ C 0 ([0, 1]) En particulier, L(1)

étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup

étant totalement ordonné, on peut définir sur cet ensemble les notions de valeur absolue, de minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X)

relation pRq ⇐⇒ ∃k ∈ N∗ , q = pk munit N∗ d’une structure partiellement ordonn´e. D´terminer les majorants de {2, 3} pour cet ordre. e e Exercice 6 - Ordre sur R2 - L1/Math Sup On munit R2 de la relation not´e e (x, y) 1. D´montrer que e d´finie par e (x , y ) ⇐⇒ x ≤ x et y ≤ y . est une relation d’ordre sur R2 . L’ordre est-il total ? 2. Le disque ferm´ de centre O et de rayon 1 a-t-il des majorants ? un plus grand ´l´ment ? e ee une borne sup´rieure ? e Si vous trouvez une erreur, une faute

partie de E. On d´finit : e e • M € E est un majorant de A si et ssi : dx € A, x ¤ M • α est un plus grand ´l´ment de A si et ssi : ee 5 α€A dx € A, x ¤ α On donne des d´finitions analogues pour un minorant et un plus petit ´l´ment. e ee Th´or`me. e e Avec les notations pr´c´dentes, un plus grand ´l´ment de A, s’il existe, est unique. On le note max A. e e ee D´finition. On conserve les notations pr´c´dentes. e e e Si l’ensemble des majorants de A dans E admet un plus petit ´l´ment, celui-ci

| |    Calculez le plus petit de ses majorants en fonction des données. | |2: Déterminez une condition nécessaire et suffisante pour E soit non vide et majoré. | |3: Calculez, lorsqu'il existe, le plus petit des majorants de E . |    

-Soit définie par est définie si et seulement si et et II) Fonctions bornées: Définition: Soit une fonction définie sur un intervalle . est majorée/ sur s'il existe un réels M/ tel que pour tout de , / On dit que M/ est majorant/ de sur est bornée sur si elle est minorée t majorée sur Remarque: est majorée par son maximum et minorée par son minimum. Théorème: Soit une fonction monotone sur un intervalle alors est bornée. | Démonstration: Supposons

est le plus grand. S est la borne supérieure de A si S est le plus petit majorant de A, c'est à dire si S est plus grand que tous les éléments de A (S majore A), mais que, parmi tous les majorant possibles, S est le plus petit. EXEMPLE : Soit A = ]0,1[. Tous les réels négatifs ou nuls minore A. Le plus grand de ces minorants est 0. On note Inf A = 0. Tous les réels supérieur ou égaux à 1 majore A. Le plus petit de ces majorants est 1. On note Sup A = 1. On notera qu'il ne s'agit ni de minimum ni de