Marche aléatoire

situations pouvaient être décrites en faisant intervenir des "forces aléatoires". Exemple. Considérons par exemple le modèle simple de croissance de population : dN = a(t)N (t), N (0) = N0 une constante dt où N (t) est la taille de la population à l'instant t, et a(t) le taux de croissance associé à l'instant t. Parfois nous ne pouvons pas déterminer complétement a(t). En eet, a(t) peut être lié à des perturbations aléatoires de l'environnement. On peut alors écrire a(t) = r(t) + "bruit",

. . . . . . . . . . 63 63 63 63 64 64 64 65 65 67 67 67 68 68 69 70 70 72 74 76 76 6 Modèles stochastiques 6.1 Concepts de base . . . . . . . . . . . 6.2 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . 6.2.1 Variables aléatoires discrètes 6.2.2 Variables aléatoires continues 6.2.3 Espérance mathématique . . 6.2.4 Variance . . . . . . . . . . . . 6.3 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . 6.3.1 Loi de Bernouilli . . . . . . . 6.3.2 Loi uniforme . . . . . .

}n , où on utilise l’information contenue dans Xi pour explii=1 i=1 quer la valeur de Yi . Si on a n observations indépendantes {(Xi , Yi )}n , on considère le i=1 modèle Yi = m(Xi ) + i , i = 1, ..., n où { i }n ∼ (0, σ 2 ), sont des variables aléatoires indépendantes de moyenne 0 et de i=1 variance σ 2 . On veut approximer la fonction m(.). Pour approximer la fonction m(.), on essaye d’estimer la courbe de l’espérance conditionnelle yf (x, y)dy m(x) = E(Y |X = x) = f (x) où f (x, y) est la densité

un décalage entre la valeur vraie et la valeur mesurée (décalage fixe ou à variation lente). - Ce type d’erreur est difficile à compenser, nécessite un étalonnage précis de la chaîne de mesure. - Les erreurs statistiques - C’est une variation aléatoire de la valeur mesurée autour de la valeur la plus probable. Cette erreur suit une loi statistique particulière. (nécessite de connaître le modèle probabiliste du système mesuré) •CMI 2009-2010 P. NAYMAN 20 Les erreurs statistiques La présence

xx v 1 Première partie: Outils probabilistes 1 Ch 1 : Le modèle probabiliste ............................................ 3 1.1 Espace probabilisable ................................................ 3 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 1.4 Expérience aléatoire et événements ................................. 3 Algèbre des événements .......................................... 4 Espace probabilisé ................................................... 5 1.2.1 L'axiomatique de Kolmogorov ...................

celle-ci dans différents actifs risqués a = 1, ..., A. Chaque actif est défini par son prix qa (fixé à la période 0), par son revenu futur. Celui-ci e est généralement incertain et donc représenté par une variable aléatoire Va . Le prix et le e revenu alétoire définissent donc le rendement aléatoire du titre Ra : e Va e Ra = qa (1) Le rendement espéré et la variance de l’actif a sont notés Ra et σ 2 . Si un actif certain a était présent, son indice serait 0. Chaque agent doit déterminer la part xi de

Exercice 1 Une entreprise fabrique une liqueur à base d'écorce d'orange qui sera appelée par la suite de l'exercice « originale ». Il existe sur le marché des contrefaçons qui seront appelées « copies ». On sait que 1,5% des flacons proposés à la vente sont des copies. Pour éliminer les copies, l'entreprise a mis au point un test optique permettant, sans rompre le certificat de garantie, de se faire une opinion sur la conformité du produit, On sait que : la probabilité que le test soit

service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle. Partie A Contrôle avant la mise sur le marché Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 100 et d’écart-type σ = 1. Le réglage des machines de la chaîne

proche de 7/2, et ce d’autant plus que n est grand 21/01/00 27/36 Méthodes quantitatives en Sociologie Université P ul Valéry Joël Quinqueton Notion d’espérance mathématique Montpellier III La loi des grands nombres n variables aléatoires de même loi, d’espérance mathématique a la moyenne tend, quand n augmente, vers l’espérance mathématique 1 x = ( X1 + ... + Xn ) tend vers a certain n 21/01/00 28/36 Méthodes quantitatives en Sociologie Université P ul Valéry Joël Quinqueton

modèle GARCH  21 4.1 Prévision du Modèle GARCH (p,q)21 4.2 Prévision du Modèle GARCH (1,1)23 5. Conclusion 25 ANNEXE (CODE SAS) 26 Introduction La volatilité, ou fluctuations aléatoires dans le temps, est un phénomène que l'on retrouve dans de nombreuses séries temporelles. Bien que l'ampleur des variations du cours évolue dans le temps, les chercheurs utilisaient généralement des méthodes statistiques