Marche aléatoire

Chapitre III variables aléatoires discrètes. 1. 1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1 face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu, Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance. 2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2 comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6. 3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2. Vérifier en déterminant la loi de Z. 2. On

un questionnaire à choix multiples. 4 points 1. Supposons qu’il voie 5 clients et chaque rencontre est considérée comme une expérience identique, indépendante, pour laquelle la probabilité de vendre le produit est p = 0, 2. Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de produits vendus, X suit la loi binomiale B(5 ; p). Alors p(X = 2) = 52 p 2 (1 − p)3 = 10 × 0, 22 × 0, 83 = 0,2048. (réponse d)). 2. Notons G l’évènement « l’élève choisi est un garçon »et P l’évènement « l’élève choisi a obtenu

M (R). p M (R) = p(R ∩ M) 0,135 = = 0,818. p(M) 0,165 Partie B Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin. Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable aléatoire V . On admet que V suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart type 5. Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin. 1. Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit

d’extinction du processus est solution de θ = E(θD ) = F (θ), ou F est la fonction génératrice de D. On a en fait plus précis : Théorème 1.2. La probabilité q d’extinction du processus de branchement est le plus petit point fixe de F . Si la variable aléatoire Z possède une espérance m, et que m ≤ 1, alors 1 est le seul point fixe de F sur l’intervalle [0; 1], et la probabilité d’extinction est 1. Sinon, F admet exactement un point fixe sur [0; 1[, qui est la probabilité d’extinction du processus. Dans

indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Variables aléatoires réelles 43 3.1 Définition-Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Fonction

séparément) Supposons maintenant que nous ́étudions une variable quantitative X dans k populations P1, P2, ....,Pk. Chaque population Pi correspond `a une modalité ai d’un certain facteur A = {a1, a2, ..., ak} On dispose de k échantillons (groupes) aléatoires extraits indépendamment les uns des autres : (g1) de taille n1 extrait de la population P1, ..., (gk) de taille nk extrait de la population Pk. On aura alors au total n = n1+ n2 +......nk sujets : S ={s1, s2, ..., sn}. Pour chaque sujet si nous

dire que la durée de vie soit supérieur à 120 mois. D’où on obtient le calcul suivant : P(X 120) ⇡ 0, 037. La probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit supérieur à 10 ans est d’environ 0, 037. Partie B 1. (a) Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant pris l’extension et qui l’ont fait jouer. D’après l’énoncé chaque client ayant souscrit à cette garantie a une probabilité de 0, 115 de faire jouer cette garantie. X suit alors une loi binomiale de paramètre

ni ε est l’erreur aléatoire, inconnue et centrée. Les variables Y, X1,X2,…,Xk et ε sont des vecteurs de n composantes. FP  x11     x 21   M  X 1 =  ; LLL;  xi1   M    x   n1   x1k     x2 k   M  ; Xk =   xik   M    x   nk   ε1    ε 2   M  ε =  εi   M    ε   n tou Te  y1     y2   M  Y =  ;  yi   M    y   n Le vecteur aléatoire Y est connu. Les vecteurs X1,X2,…,Xk sont connus et non aléatoires.  x1k   ε 1 

sur 12 Files d’attente I- INTRODUCTION Un phénomène d’attente est un système dans lequel des clients arrivent à un certain endroit et réclament un certain service. Les instants d’arrivée et les durées de service sont généralement des quantités aléatoires. Si un poste de service est libre, le client qui arrive se dirige immédiatement vers ce poste où il est servi, sinon il prend sa place dans une file d’attente dans laquelle des clients se rangent suivant leur ordre d’arrivée. Un système d’attente

. . . . . 1.2.1 Événement contraire . . . . . . . . 1.2.2 Intersection de deux événements . 1.2.3 Union de deux événements . . . . 1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Loi équiprobable . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés de l’espérance et de la variance . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 3 3 4 5 7 2 Probabilité conditionnelle 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Représentation