Matrice de permutation

dont les ´el´ements ont tous des composantes mutuellement ind´ependantes, H l’espace des matrices r´eelles de taille (P×P), H•S le sous-espace de F des vecteurs al´eatoires obtenus par une transformation affine issue de H d’un vecteur de S, IP la matrice identit´e de H, et T le sous-espace de H des matrices triviales (i.e. de la forme D_ o`u D est une matrice diagonale de H et _ une matrice de permutation de H

= A où  Opérations sur les matrices Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1   J =  ... (1) ...  ··· 1 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. 1 A= 0 0 Exercice 6 [ 03976 ] [correction] Soit A ∈ GLn (R) vérifiant 0 4 0  1 2  16 A + A−1 = In Pour k ∈ N, calculer Ak + A−k . Problèmes de commutation Exercice 2 [ 01248 ] [correction] Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de Mn (K) d’indices

dont la résolution est facile. Ces opérations sont : Permuter deux équations ; Ajouter à une équation une autre équation multipliée par un coefficient non nul. REPRESENTATION : Nous représenterons le système par la matrice (n, n + 1) A est donc la matrice obtenue en ajoutant à la matrice des coefficients du système une dernière colonne formée des seconds membres des équations. DESCRIPTION DE LA PREMIERE ETAPE : a1,0 … an -1,0 de la première colonne, celui dont la valeur absolue est la plus grande

Calcul matriciel Opérations sur les matrices Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. ··· 1 Calcul des puissances d’une matrice Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : 1 1 a b cos θ − sin θ a) A = b) A = c) A = 0 2 0 a sin θ cos θ Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice  1 1 1 A= 0 1 1  0 0 1  et

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc

1 Calcul matriciel Calcul des puissances d’une matrice Opérations sur les matrices Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . ··· 1 a) A = 1 0 1 2 b) A = Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice b a  1 A= 0 0 1 Vérifier J.A.J = σ(A)

color=blue):r:=plot(g(x),x=1..7,color=green): > display({p,q,r}); 1. Inégalités de réordonnement. Problème 1 : Soient a1, a2, …, an et b1, b2, …, bn des nombres réels. Lorsque  décrit l’ensemble des permutations de {1, 2, …, n}, la somme S() = prend au plus n! valeurs. Pour quelles permutations est-elle maximum, resp. minimum ? Théorème 1 : S() est maximum lorsque les suites a1, a2, …, an et b(1), b(2), …, b(n) sont rangées dans le même ordre, au sens large. S() est minimum lorsque les suites

Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Matrices Définitions Soit K un sous-corps de C. Une matrice à coefficients dans K est notée : A = (aij ) 1≤i≤p où p représente le nombre 1≤j≤q de lignes et q le nombre de colonnes. On écrit A ∈ Mpq (K). Soient A et B deux matrices de Mnp (K). On définit la matrice C = A + B où C = (cij ) avec cij = aij + bij , la matrice A = λA où A = (aij ) q avec aij = λaij . Si A ∈ Mnp (K) et B ∈ Mpq (K), on définit la matrice P = AB par pij = k=1 aik bkj et P ∈ Mnq (K)

système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : • Permutation de deux lignes: Li ↔ Lj . • Multiplication d’une

Fin(k) ; ; 15 A k désigne les sous-matrices principales de A définies par a11 a12 a1k k a 22 a 2k a k1 a k2 A k a kk Si det( A ) est non nul pour k=1,2,…,n, alors la méthode d’élimination de Gauss est faisable sans permutation de (k) lignes (tous les pivot akk sont non nuls). Remarque: 1) Si A est une matrice régulière (inversible), alors l’élimination de Gauss peut toujours se faire avec permutation de lignes lorsqu’on rencontre un pivot k (k)