Matrice de permutation

D´efinition des tenseurs comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Repr´esentation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .

Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques

premier ordre : Les dérivées premières sont nulles. On détermine ainsi les coordonnés des points extremums éventuels.  Condition du second ordre : Pour déterminer la nature de l‘extremum il faut calculer les dérivées secondes et établir la matrice Hessienne avant de calculer son déterminant. Règle de décision : Si det H> 0 alors on est en présence d‘un maximum Si det H< 0 alors on est en présence d‘un minimum Exemple : Etudier les extremums éventuels de la fonction f(x,y)=xy sous la

3 Matrices 3.1 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.1.2 Op´rations lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Multiplication de matrices et syst`mes

` a plusieurs dimensions . . . . . 4.2.1 D´eclaration et cr´eation . . . . . . . 4.2.2 Coˆ ut des acc`es . . . . . . . . . . . 4.3 Effet du codage sur l’occupation m´emoire 4.3.1 Puissance ´egyptienne . . . . . . . . 4.3.2 Puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

exécutées par l’algorithme. Le choix est bon si le nbre total d’opérations est proportionnel au nbre d’opérations fondamentales. Complexité des algorithmes 11 exemples : Problème recherche d’un élément dans une liste multiplication des matrices réelles addition des entiers binaires Opération fondamentale comparaison entre l’élément et les entrées de la liste multiplication scalaire opération binaire Complexité des algorithmes 12 Le temps de l’exécution dépend de la taille de

MATRICIEL I. DÉFINITION DE MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES A. DÉFINITION 1. Sous-matrice d’une matrice donnée 2. Transposée d’une matrice 3. Des matrices particulières : la matrice identité et la matrice nulle 4. Matrices unicolonnes et unilignes 5. Exemples de matrices B. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 1. Égalité de deux matrices 2. Somme et différence de deux matrices 3. Produit d’une matrice par un nombre 4. Produit de matrices II. INVERSION DES MATRICES A. DÉFINITION DE L’INVERSE

maintenant de trouver une autre méthode pour réaliser une permutation. 31 Chapitre 1 Spécification du problème Résultat : Ecrire (A , B) Traitement : Pour pouvoir permuter les valeurs des deux variables A et B, nous pouvons faire recours à une variable intermédiaire que nous allons appeler C. Les actions à faire dans l’ordre sont : C A B A B C A , B = données Algorithme : 0) DEBUT Algorithme Permutation // cet algorithme permet de permuter les valeurs de deux variables

+ 1. 2 2.2 Matrice g´ en´ eratrice On peut se donner un sous-espace vectoriel (et donc un code) par une base. Soit C un code lin´eaire. Une matrice g´en´eratrice de C est une matrice dont les lignes forment une base de C. Une matrice g´en´eratrice G est donc de taille k×n et de rang k. Si m est un vecteur ligne de Fk2 , le produit mG est un mot du code C et l’application m → mG est un isomorphisme de Fk2 sur C (que l’on peut voir comme une op´eration de codage). Si la matrice G est de la forme

− card(A ∩ B). Produit de deux ensembles finis. Cardinal de P(E). 4 - Applications entre ensembles finis : image directe d’un ensemble fini, entre ensembles de même cardinal l’injectivité équivaut à la surjectivité. Cardinal de F(E, F ). Nombre de permutations de E. n n = , C) Combinatoire 1 - Nombre de parties à n éléments d’un ensemble à p éléments. 2 - Formules : p n-p n = 2n et k k=0 Formule du binôme. n n p = n-1 p-1 + n-1 p . 3 - Triangle de Pascal. Algorithme de calcul des