Matrice identité

1 re CD – math I – Géométrie analytique GEOMETRIE ANALYTIQUE Table des matières A) Systèmes linéaires ………………..…..……………………….. page 2 1) Définitions ……………...……………………………….…. page 2 2) Résolution d’un système linéaire par substitution …….…... page 2 3) Règle de Cramer …………………….…………….………. page 5 B) Géométrie analytique dans le plan (rappels)………………… page 9 1) Repères du plan ………………..………………………….. page 9 2) Calcul vectoriel dans un repère du plan …………………… page 9 3) Equations

dans laquelle on le calcule. Proposition 5 : On a : i/ det (IdE ) = 1: ii/ 8u; v 2 End (E) : det (u v) = det u: det v: iii/ 8u 2 End (E) : u inversible ssi det u 6= 0, et dans ce cas : det u 1 = (det u) 1 Preuve : II-2 Déterminant 0 d’une matrice carrée 1 a11 a12 ::: a1n B : C B C C 2 Mn (K), les colonnes de A représentent des B Soit A = (aij ) = B : C @ : A an1 an2 : ::: ann vecteurs c1 ; c2 ; :::; cn de Kn repérés relativement à sa base canonique Bc = (e1 ; e2 ; :::; en ) ;

................................................................ 4 Définition d’un système de Cramer ........................................................................................................... 4 Résolution par l’inversion de la matrice du système ................................................................................. 5 Résolution par la méthode de Cramer ........................................................................................................ 6 II-2 Résolution

le problème, E désigne un C-espace vectoriel de dimension finie n 2. On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E. On appelle involution de E un automorphisme u de E tel que u 2 = id. E ∗ désigne l’ensemble des formes linéaires de E. On appelle transvection de E tout endomorphisme t de E différent de id E possédant les deux propriétés suivantes : (1) il

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

équations et les systèmes d’équations. Il est possible d’entrer certaines fonctions ou certaines expressions à partir de modèles (/r) comme nous allons le voir pour les systèmes d’équations, mais également plus loin pour les intégrales, les dérivées, les matrices… Résolution d’une équation - dans le corps des réels - dans le corps des complexes solve(eq, var) var) Touches b31 Touches b3A1 cSolve(eq, La fonction solve retourne un résultat sous forme d’une, ou plusieurs égalités séparées par or

Equiv (valeur_cherchée ;tableau_recherche ;type)  affiche la position d’un élément dans une matrice Valeur_cherchée : valeur que l’on souhaite rechercher dans la matrice. Tableau_recherche : plage de cellules (matrice) dans laquelle excel doit rechercher la valeur_recherchée Type : -1 ou 0 ou 1 1 = EQUIV retourne la valeur inférieure ou égale la plus proche de valeur_cherchée (tableau_recherche doit être trié par ordre croissant) 0 = EQUIV retourne la valeur exacte correspondant à valeur_recherchée

Déterminer le noyau de f. 4) Quel est le rang de f ? 5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4 Exercice 3   On considère l’application linéaire de R3 dans R3 , définie par : f(x, y, z) = (x + y + z, x – y +2z, x - 2y - z) 1) Trouver le noyau de f ? 2) En déduire Im f et rang f 3) f est-elle injective ? surjective ? bijective ? 4) Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3 5) Donner la matrice de f relativement à la base {(1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)} de R3

Algèbre linéaire Sommes-nous dans la matrice ? Aller voir Matrix. Qu’est ce qu’un problème linéaire ? Demandons en premier lieu qu’est ce qu’un problème ? Soient E et S deux ensembles. L’ensemble E est l’ensemble des entrées ( ou des données) et S l’ensemble des sorties. Un problème P est un élément du sous-ensemble Ensuite, quand ce problème est-il linéaire ? Quand il existe une relation linéaire entre les entrées et le sorties. Illustration : la linéarisation d’un problème

l’utilisateur est de permettre les opérations arithmétiques sur les vecteurs et matrices, comme en mathématique. En calcul scientifique, on parle de calcul vectoriel. Un élément fondamental de l’apprentissage de MATLAB consiste donc à savoir effectuer des opérations matricielles de façon compacte, sans programmer de boucles sur les indices. Commençons par étudier différentes opérations pour assembler des vecteurs et des matrices. 1) Entrer le vecteur v ∈ R8 suivant v = [1,2,3,4,5,6,7,8]T (1) sous