Matrice jacobienne

l’équation de la chaleur Corrigé par M.TARQI I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U et admet un maximum en a, donc d’après la condi∂f tion nécessaire des extremums df (a) = 0, donc (a) =

´tat d’´quilibre stable. e e 3. D´terminer la matrice de transfert du syst`me en boucle ouverte (On pourra, pour cela, utiliser e e la commande tf ). Ce syst`me est-il d´coupl´? Quel est le gain statique de ce syst`me? e e e e 4. Tracer la r´ponse indicielle du syst`me en boucle ouverte ` une entr´e d’amplitude 0.4 0.8 e e a e , pour un ´tat initial nul (Indication : on pourra utiliser la commande step en modifiant de fa¸on e c adequate la matrice B). Constater le lien existant entre le gain statique

initial, de dimension n.p, FJ/I le tableau des profils en ligne (fréquences conditionnelles, conditionnées par les items en ligne) et FI/J celui des profils en colonne. DI désigne la matrice diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux marginaux) et DJ celle des totaux en colonne. Les différentes matrices précédentes sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit

décomposition des noyaux Théorème : Si alors , Corollaire : Si sont deux à deux premiers entre eux alors on a : Corollaire : Si et , les sont deux à deux premiers entre eux. Alors Corollaire : ( et ). . . 4. Polynôme de matrice Tout est identique pour les matrices en remplaçant par II. Réduction d’un endomorphisme 1. Valeurs propres et vecteurs propres d’endomorphisme a. Droite stable Problème : Soit une droite, on cherche une CNS pour que D soit stable par . b. Valeurs propres

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e 

2008/2009 Le rôle des matrices dans la 3D Problématique : en quoi les matrices sont-elles indispensables à la réalisation d’images 3D ? HEI 1F / D1 Préface Notre but principal pour ce projet que nous nous étions fixés était de prendre un sujet en relation avec le programme scientifique de cette année et étant en classe de Spécialité Mathématiques, nous avons logiquement optés pour les Mathématiques. De ce fait, nous avons voté pour le premier chapitre et les matrices étant donné également

intéressons au choix des constituants élémentaires, c'est-à-dire à la nature physique des renforts et de la matrice, en nous focalisant essentiellement sur les composites "modernes" ; nous n'abordons donc pas le cas des multi-matériaux traditionnels ou naturels comme les bétons (armés ou non) ou les bois. Il est d'usage de classer les composites par la nature de leur matrice, pour deux raisons : la matrice assure toutes les fonctions autres que la tenue mécanique (voire, dans le cas des matériaux "à grande

matricielle de la di�érentielle Dé�nition 5 Soit f : U ⊂ R2 → R2 (x, y) 7→ ( f1(x, y), f2(x, y) ) une fonction di�érentiable sur U . La matrice associée à la di�érentielle f ′, notée Jf (x, y) et est dé�nie par Jf (x, y) =  ∂f1 ∂x (x, y) ∂f1 ∂y (x, y) ∂f2 ∂x (x, y) ∂f2 ∂y (x, y)  ∈M2(R). est appelée matrice jacobienne de f en (x, y). 5 Matrice jacobienne : propriétés Proposition 5 (linéarité) Soient U un ouvert de R2, f : U ⊂ R2 → R2 et g : U ⊂ R2 → R2 deux fonctions di�érentiables, alors

(5.8) sur les coordonnées barycentriques. D(x,y) La matrice jacobienne Jk = D(ξ,η) de cette transformation se calcule simplement : ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ Jk = ∂x ∂η ∂y ∂η = (xn2 − xn1 ) (yn2 − yn1 ) (xn3 − xn1 ) (yn3 − xn1 ) 1 − ξ − η = λ1 (x, y) Marc BUFFAT, UFR Mécanique, UCBLyon (5.14) D(ξ,η) D(x,y) est égale à l’in- (yn3 − yn1 ) (xn1 − xn3 ) (yn1 − yn2 ) (xn2 − xn1 ) (5.15) De même la matrice jacobienne de la transformation inverse verse de Jk : J−1 = k

: Pas faite en cours. Définition 37 (MATRICE JACOBIENNE) La matrice des dérivées partielles de f : E ⇢ Rp ! Rq s’appelle la matrice jacobienne ou la Jacobienne de f . On la note J(f )x0 , elle a p colonnes et q lignes : 0 1 @f1 (x0 ) @f1 (x0 ) ... B @x1 @xp C B C . . B C 2 Mq,p (R). . . J(f )x0 = B . . C @ @fq (x0 ) @fq (x0 ) A ... @x1 @xp Autrement dit, si x = (x1 , ..., xp ) pour une fonction vectorielle f (x1 , ..., xp ) à valeurs dans Rq , la @f Jacobienne a pour colonnes les vecteurs . En particulier