Maximum de vraisemblance

Pt|t−1 zt + 1. La vraisemblance de l’erreur de pr´e diction s’´crit alors pour une observation : e 1 2πσ 2 ft −νt2 2σ 2 ft L(νt ) = exp (17) Le but est d’estimer σ 2 par maximum de vraisemblance. Lorsque a0|0 et P0|0 sont inconnus, a0|0 et P0|0 sont choisis arbitrairement, mais avec P0|0 grand. Dans ce cas, les NS premi`res observations ne sont pas prises en compte pour e l’ estimation, o` NS peut ˆtre d´termin´ graphiquement. u e e e Une fois σ 2 d´termin´ par maximum de vraisemblance1

. . . . . . . . 3.2 Qualités d’un estimateur : . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 4 Estimation ponctuelle 12 4.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Fonction de vraisemblance : . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Estimation de maximum de vraisemblance(EMV) : 13 5 Estimation par intervalle 17 5.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Construction

Montrons que cette suite suit une loi de pareto de parametre . Si X suit une loi de pareto de parametre  alors : P(X > x) = cx avec x > x0 Deux cas possibles : { x0 connu et le support de la loi est [x0;1] dans ce cas on le fait par maximum de vraisemblance { x0 inconnu et le support de la loi est [0;1] dans ce cas il faut choisir les plus grandes observations Nous devons dans un premier estimer . Nous savons que : P(X > x) = x Donc : P(log(X) > y) = ey On va donc estimer  par la

C'est une méthode itérative qui permet de faire converger progressivement les communalités. Les calculs sont interrompus dès que le changement maximum des communalités est en dessous d'un seuil donné, ou lorsqu'un nombre maximal d'itérations est atteint. Les communalités initiales peuvent être calculées suivant différentes méthodes.  Maximum de vraisemblance : cette méthode a d'abord été proposée par Lawley (1940). La proposition de l'utilisation de l'algorithme de Newton-Raphson (méthode itérative)

Interprétation de résultat: Min 1st Qu Median Mean 3rd Qu. Max. 1.500 2.365 3.000 3.369 3.970 10.000 La boite à moustache nous indique six valeurs (minimum, 1er quartile, la moyenne, la médiane, le 3ieme quartile, le maximum) résumant les données de la variable Income.per.dependant du fichier credit.txt. Ici nous notons par ailleurs que nous observons des valeurs atypiques (aberrantes), qui rendent les résultats de l'estimation biaisés. Nous remarquons que la distribution

4). La dernière étape va consister à sélectionner les modèles au moyen de 4 critères de selection. En effet, ces critères sont base sur la mesure de l’écart entre la vraie loi inconnue, et le modèle estimée. Nous utilisons le critère de Log de vraisemblance qui est à maximiser, ainsi que le critère Hannan-Quinn (HQ) de Schwartz (SIC) et celui d’Akaike (AIC) Model log-likelihood SC HQ AIC | AR(1) 1769.6175 -5.6229

notre ´chantillon nous indiquent que : e – – – – – – – Le minimum de notre ´chantillon vaut : 0,00224 e Le 1er quartile vaut : 2,97454 La m´diane vaut : 7,00877 e La moyenne vaut : 10,44749 Le 3eme quartile vaut : 13,85089 Le maximum vaut : 70,28145 La variance descriptive vaut : 117,4124 La variance descriptive est obtenue est cr´ant une fonction calculant V ardes = e 2 n−1 V ar n Histogramme et densit´s possibles de f e En utilisant la fonction hist de R nous

2 mi 1 P mi m i 2 m i P m i 2 mi 1m i 1 P mi 2 mi 1 5 Estimation des probabilités il faut estimer P(mi) P(mi-1 mi) P(mi-2 mi-1 mi) sur un corpus C estimation de la probabilité d'un n-gram estimateur du maximum de vraisemblance (maximum likelihood) P ML C i f f C i f( ) = fréquence d'occurrence de dans le corpus 6 Lissage problèmes de zéros un n-gram qui n'apparaît pas dans le corpus a une probabilité nulle toute séquence qui le contient a une

une variable x). system ! système d’ équations coef ! paramètres d’ une équation, exemple coef(2) estim (la dimension (2) est optionnelle ; par défaut, l’ objet créé est de taille 1 et contient des 0). logL ! log-vraisemblance utilisée pour estimer un modèle par maximum de vraisemblance model ! système d’ équations simultanées utilisé pour la prévision et la simulation var ! modèle VAR ou VECM 2.2 Dé…nition d’ objet un Une fois l’ objet déclaré, l’ opérateur peut en dé…nir le contenu: -

Méthodes Statistiques en Finance a pour double objectif de dépasser la méthode des Moindres Carrés Ordinaires pour l’estimation des modèles de régression linéaire simple en familiarisant l’étudiant avec d’autres approches et notamment celle du maximum de vraisemblance ; ainsi que de découvrir la régression logistique, largement utilisée en Finance dans le cadre du credit scoring par exemple. Ce cours permettra d’approfondir les techniques de modélisation statistique étudiées en Licence et d’acquérir des