Méthode d'Euler

LA METHODE D’EULER APPLIQUEE A LA RECHERCHE D’APPROXIMATION DE COURBES INTEGRALES L’objectif de l’activité est de mettre en œuvre, avec un tableur, la méthode d’Euler afin d’obtenir des approximations de la courbe représentative d’une fonction F dérivable sur [a,b] connaissant : sa fonction dérivée f l’image de a, F(a) Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O; ; ). La méthode d’Euler conduit à la création d’une suite de points du plan Mn (xn,yn). Rappeler les premiers

dans le circuit pour t = 0. Justifier. 7-Déterminer la valeur de l'intensité i dans le circuit pour t > 5 Τ. Justifier. 8-Montrer que :dUC/dt = 104 (5-UC) ( relation (1) ). 9-Pour vérifier la relation (1),  on va tracer uc(t) en appliquant la méthode d'Euler. On a :UC(ti+1) = UC (ti) + (dUC/dt)ti . Δt  avec Δt=ti+1-ti      Dt étant le pas du calcul. Ici Δt = 5.10-5 s. Exemples : UC(5.10-5) = UC(0) + (dUC/dt)t=0.Δt = 0 + 104.(5-0).5.10-5= 2,5V UC(10.10-5) = UC(5.10-5) + (dUC/dt)t=5.10-5.Δt = 2

relation permettant de calculer la charge q du condensateur en fonction de I. Calculer q à la date t = 3,0 s. On a représenté (graphe n°1) la courbe donnant la charge q du condensateur en fonction de uAB Déterminer à partir de cette dernière, par une méthode que l'on explicitera, la valeur de la capacité C du condensateur. La valeur indiquée par le constructeur est C = 4,7 mF à 10 % près. La valeur obtenue est-elle en accord avec la tolérance du constructeur ? graphe n°1 2ème partie On étudie maintenant

1- Approximation de e par la méthode d'Euler On va construire une suite de points Mn(xn, yn) tels que les yn soient des approximations de exp(xn). Pour choisir les valeurs de xn on utilise un pas h et on part de 0. La suite xn sera donc une suite arithmétique de raison h et de premier terme x0 = 0, et on aura xn = nh. Pour définir la suite yn on utilise une approximation affine : exp(xn+1) = exp(xn + h) exp(xn) + h.exp(xn) = exp(xn)(1 + h). La méthode d'Euler consiste à confondre yn et les

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Méthodes de Riemann à droite et à gauche 2.3 2.4 2.5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Cas d'un polynôme de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Cas d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Méthode du premier ordre des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fonction des vitesses articulaires et vice versa,  La modélisation dynamique donnant les relations entre les couples ou forces des actionneurs, et les positions, vitesses et accélérations des articulations. Ce rapport présente quelques méthodes pour établir ces modélisations. Il traitera également un exemple d’un robot manipulateur sériel de six degrés de liberté. Chapitre 1: Introduction à la robotique 1.1. Introduction Selon la norme internationale ISO 8373 [1], un robot industriel

ln x –  2 2 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions Décomposition de fractions en éléments simples Principe : Transformer une fraction compliquée qu'on ne sait pas intégrer en somme de  fractions plus simples. Méthode :  • Décomposer le dénominateur en produit de facteurs degré 1 ou 2, notées F 1 , F 2 , etc. • Ecrire la fraction à décomposer comme une somme de fractions dont : • les dénominateurs sont les F 1 , F 2 , etc. • les numérateurs sont de la forme (avec A et B réels) :

nul et forme trigonométrique (ou exponentielle) Notation : A tout réel  , on associe le complexe noté ei  défini par : ei   cos()  isin() . Questions : 1. Quel est le module de ei  ? 2. Que vaut e i i  2 , e , e 3i 2 ? Formules d’Euler : cos      ei  ei 2 sin     ei  ei 2i Propriété :   ,   2 , on a : i) ei()  ei ei  ii) ei   ei      2 Conséquence:  n   cos   isin n  cos(n )  isin(n ) (Formule de Moivre). Définition

Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui donne 2 b b I = 0 π 2 1 − cos(2x) 2 π 2 2 dx =

(x) x→+∞ et le nombre π par π = . 2 π π . Théorème 23.9 f réalise un homéomorphisme de R sur − , 2 2 La fonction f est appelée fonction arc-tangente et notée arctan . Exercice 23.1 Montrer que arctan (1) = π . En déduire des méthodes de calcul approché de π. 4 Exercice 23.2 Montrer que : 1 x ∀x ∈ R∗ , arctan (x) + arctan = x π . |x| 2 Exercice 23.3 Montrer que pour tous réels x, y tels que xy = 1, on a : arctan (x) + arctan (y) = Exercice 23.4 Calculer