Modulor

© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot T RIGONOMÉTRIE 1 Congruence Définition 1.1 Congruence Soient a, b et m trois réels. On dit que a et b sont congrus modulo m s’il existe k ∈ Z tel que a = b + km. On note alors a ≡ b[m]. Remarque. En pratique, on a souvent m = rπ avec r ∈ Q. Exemple 1.1 3π 2 ≡ π 2 [π]. Proposition 1.1 Propriétés de la congruence Réflexivité Soit a ∈ R. Alors a ≡ a[m]. Symétrie Soit (a, b, m) ∈ R3 . Alors a ≡ b[m] ⇐⇒ b ≡ a[m]. Transitivité

choix de Le Corbusier en architecture sont ceux qui définissent le purisme : simplicité des formes, organisation, rigueur. A) Le Modulor ( diapo 3) Bâtie sous forme de barre sur pilotis, la Cité Radieuse tente de concrétiser une nouvelle forme de cité, un « village vertical » appelé « Unité d'habitation ». Les proportions de la Cité sont calculées avec le Modulor qui est un système de mesures des rapports entre les habitants et l'habitat basé sur le nombre d'or. Elle est déterminée par la hauteur

la seconde guerre mondiale en cinq exemplaires tous différents. Elle prendra valeur de solution aux problèmes de logement de l’après guerre. Sa pensée envisage dans un même bâtiment tous les équipements collectifs nécessaires à la vie.  Le modulor est une notion architecturale inventée par Le Corbusier en 1943. Silhouette humaine standardisée servant à concevoir la structure et la taille des unités d’habitation, comme la cité radieuse de Marseille, Maison radieuse de Rezé ou l’unité d’habitation

centre O et de rayon 1. 2) (c’) désigne le cercle de centre O’ d’affixe 2 et de rayon 1. a) Construire le point A’ appartenant au cercle (c’) tel que (OA,O’A’) = → → π [modulo 2π]. 3 b) À tout point M du cercle (c) d’affixe z, on associe le point M’ du cercle (c’) d’affixe z’ → → π tel que : (OM,O’M’) = [modulo 2π]. 3 π i z’ – 2 Déterminer le module et un argument de . En déduire que z’ = e 3 z + 2. z c) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à

Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo 8. 4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de A(12). Indication : la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . . Amérique du Sud 3 Novembre 2010 Baccalauréat S A. P. M. E. P

T du cercle C de centre O et de rayon 1. 2. C’ désigne le cercle de centre O’ d’affixe 2 et de rayon 1. a. Construire le point A’ appartenant au cercle C’ tel que :[pic] = [pic] [modulo 2π]. b. À tout point M du cercle C d’affixe z, on associe le point M’ du cercle C’ d’affixe z’ tel que : [pic] = [pic] [modulo 2π]. Déterminer le module et un argument de [pic]. En déduire que z’ = [pic]z +2. c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du

(figure 3.1). [pic] Figure 3.1 – Générateur de séquence pseudo aléatoire Dans l’exemple ci-dessus le polynôme générateur est f(x) = 1 + x + x4 On représentera le schéma précédent en utilisant l’opérateur « ou exclusif » qui effectue la somme modulo 2 de toutes les prises utilisées pour la réaction. [pic] Figure 3.2 – Schéma simplifié Ces registres ont plusieurs propriétés : La longueur maximale de la séquence générée est : L = 2n – 1 avec n le nombre d’étages du registre Pour

nue. »4 et il réussit à joindre le jour et la nuit dans « Les soirs bleu d’été » Ce qui donne une très bonne harmonie dans le poème et une très belle finition. Bibliographie Rimbaud, Arthur, Œuvres poétiques choisies, Mont-Royal, Éditions Modulo-Griffon, 2004, 200 p.

1Pour le Cours 2Lecture : Louis Roy et Nadine Trudeau, Peuples et cultures . Une introduction à l'anthropologie sociale et culturelle , 3e édition , Montréal, Modulo, 2019 .Chapitre 1, (p. 1-10) 1. Pourquoi parle-t-on de l’anthropologie comme d’un ambitieux projet?  2.  Nommez la discipline, la sous-discipline ou la spécialité correspondant à chacune des définitions suivantes.  Définition Discipline

(ou congrus) modulo m si a-b est un multiple de m, autrement dit si les deux nombres a et b ont même reste dans la division euclidienne par m. On note « a [pic] b mod m », et Z/mZ l'ensemble {[pic],...,[pic]} : tout entier est égal modulo m à un unique élément de Z/mZ (son reste dans la division euclidienne par m). Les calculs usuels (addition, multiplication, puissance) peuvent être réalisés modulo m, exactement comme avec les entiers. Il suffit ensuite de réduire le résultat modulo m. On peut