Morphisme de groupes

1 RAPPELS SUR LES GROUPES, ANNEAUX ET CORPS 1. Groupes D´finition 1 (Groupe). Un groupe (G, ⋆, e) est un ensemble G muni d’une loi de composition e • la loi ⋆ est associative, i.e. (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pour tout x, y, z ∈ G, • il existe un ´l´ment neutre e, i.e. x ⋆ e = e ⋆ x = x, pour tout x ∈ G, ee • tout ´l´ment a un inverse, i.e. pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que x ⋆ y = y ⋆ x = e ee Lorsque la loi ⋆ est commutative, on parle de groupe commutatif ou de groupe ab´lien. e D´finition

( ?, ?) ↦ ? ∙ ? MORPHISME Soient (E, ○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si : i. ∗ est

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

un ensemble muni de deux lois de composition interne notées + et ×, telles que (A, +) soit un groupe abélien, et telle que × soit associative et distributive sur +. En revanche, il n’existe pas nécessairement d’élément neutre pour la loi ×. • Un anneau est donc un pseudo-anneau admettant un élément neutre 1A pour la loi ×. • Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I. • Le centre C(A) d’un pseudo-anneau

éléments de S, (x ∗ y) ∗ z et x ∗ (y ∗ z) x + y + z + xyz sont tous deux égaux à . Il est clair que 0 est neutre pour la loi ∗ et que tout élément 1 + xy + xz + yz x de S admet −x pour symétrique selon cette loi, qui est donc bien une loi de groupe (évidemment commutatif). Exercice 3 Il suffit de montrer que tous les éléments non nuls de A sont inversibles. Soit a ∈ A non nul et soit ϕ l’application de A dans A définie par : ϕ(x) = ax. ϕ est injective, en effet si ϕ(x) = ϕ(y), alors ax =

n'existe pas), pas plus que d’ailleurs. Extensions possibles : on peut démontrer facilement (et c’est conforme à la définition intuitive) que , c'est-à-dire que l’application de dans définie par est un morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme de magma (c'est-à-dire que si f est injective ( a les mêmes propriétés que est alors un isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de à , c'est-à-dire du magma au monoïde en ajoutant

. . . . . . . . 2.1.1 Fibrés vectoriels stables . . . . . . . . . 2.1.2 Structure normale stable sur une variété 2.1.3 Structure des groupes de cobordisme . . 2.2 Nombres de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nombres de Pontryagin normaux . . . . 2.2.2 Réseau et congruences de Stong . . . . . 2.3 Formule de la signature de Hirzebruch . . . . . 2.3.1 Groupe de Witt . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Forme d’intersection . . . . . . . . . . . v ix 1 1 1 2 2 3 4 5 5 6 8 8 9 10 11 13 13 13 14

cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés 1 Morphisme de groupes Exercice 1 [ 02218 ] [correction] Soit n ∈ N et f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de

Th´eor`emes de Sylow Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G. Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial. Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr . (a) Montrer que pour tout entier k r, G poss`ede un sous-groupe distingu´e d’ordre pk . (b) Montrer qu’il existe

THÉORÈME DE CAYLEY Théorème Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn. Démonstration : Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective. En