Mouvement brownien

Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . Variation totale et Variation quadratique Intégrale stochastique . . . . . . . . . . Formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . Processus d’Ito . . . . . . . . . . . . . . Equation Différentielle Stochastique . . . . . .

défaillante qu’est le Virus Brownien. La question que se pose les auteurs de ce livre est « pourquoi la construction mathématique entraînerait-elle une vision faussée de la réalité ? ». En effet, il est clairement évoqué que la crise aurait été moins grave si les professionnels financiers ne s’étaient pas basés sur un modèle laxiste ( Modèle brownien) qui permet de donner une valeur 5 fois plus importante que la valeur réelle. De plus selon les économistes, le modèle brownien serait une contagion mentale

Introduction aux équations intégrales browniennes Marie du Roy, Charlotte Perrin sous la direction de Mihai Gradinaru 20 avril 2011 Table des matières 1 Résultats préliminaires, mouvement Brownien 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 Dénition du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques propriétés simples du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation de fonctions et conventions . . . . . Construction de l'integrale

zéro-coupon et les sous-jacents de call et de put européens. La dynamique de l’actif sans rique (zéro-coupon) sera la suivante : dBt = r.Bt .dt L’actif risqué vérifiera l’équation de Black and Scholes à coefficients constants : En notant dWt un mouvement brownien, µ le drift de notre actif et σ la volatilité : dSt = St [µ.dt + σ.dWt ] 1 Stratégie Buy and Hold Détermination du K maximal Pour simplifier les notations, l’actif non risqué est tel que : BT = 1 Ainsi l’équation sur l’actif non risqué

Stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Processus à accroissements indépendants . . . . . . . 1.4.5 Mouvement brownien (ou processus de Weiner) . . . 1.4.6 Processus Gaussien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Equation d’onde stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Biologie : Le mouvement d’un brin d’ADN . . . . . . . 1.5.3 Astronomie : La structure interne du soleil : . . . . . . 1.5.4 équation d’onde

AIDE MÉMOIRE PROBABILITES / CALCUL STOCHASTIQUE Prof. Pierre Devolder (UCL) 2009 Table des matières • • • • • • • 1. Eléments de probabilités 2. Processus stochastiques 3. Le mouvement brownien 4. Intégration stochastique 5. Equations différentielles stochastiques 6. Théorème de Girsanov 7. Représentation de Feynman- Kac UCL Devolder 2 1. Probabilités Notions de base de probabilité : (Ω , ℑ) - espace mesurable : Avec : Ω = un ensemble ℑ = une sigma algèbre

diffusion stationnaire, probl`me aux limites mixtes, e e irr´gularit´ g´om´trique, fractale, analyse multifractale, op´rateur de Dirichlet-Neumann, e e e e e op´rateur d’auto-transport brownien, mesure harmonique (´tal´e), probabilit´s de pree e e e mier contact, marches al´atoires, mouvement brownien (partiellement) r´fl´chi, mesures e e e ´lectrochimiques, imp´dance spectroscopique, ´lectrodes non bloquantes, membranes semie e e perm´ables, catalyse h´t´rog`ne, approximation de l’arpenteur

. . . . . . . . . . . 6.3.2 Algorithme de la stratégie de couverture : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Etude de la chronique des prix pour "mieux" estimer la volatilité : . . . . . . A Mouvement brownien A.1 Généralités sur le mouvement brownien : A.2 Simulation d’un mouvement brownien : A.2.1 Méthode de Karhuen-Loève : . . A.2.2 Méthode d’Euler aléatoire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 51 51 52 54 56 58 60 61 61 64 65 66 68 71 71 73 75 77 77 77 77 77 7 Le mouvement Brownien 7.1 Limite d’´chelle d’une marche al´atoire e e 7.2 Construction du mouvement Brownien 7.3 Propri´t´s de base . . . . . . . . . . . ee 7.4 Temps d’arrˆt . . . . . . . . . . . . . . e 7.5 Mouvement Brownien et martingales . 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 8 L’int´grale d’Itˆ e o 8.1 D´finition . . . . . . . . e 8.2 Propri´t´s ´l´mentaires

s’ajouter à la valeur de la variable à l’instant présent * est indépendant des accroissements aléatoires antérieurs les processus de Markov en temps continu et à variable continue sont appelés processus de diffusion. 2- Mouvement brownien simple Le mouvement brownien simple est encore appelé processus de Wiener. Voici ces caractères généraux : * C’est un processus de Markov en temps continu et à variable continue ( le future ne dépend que du présent et non du passé) * Ses accroissement