Multiplicateur de Lagrange

sur R e En cons´quence, les extrema locaux calcul´s pr´c´demment sont globaux et f (R2 ) = [−e−1 , e−1 ]. e e e e Exercice 3 (Multiplicateurs de Lagrange, in´galit´). e e 1. Soit s ∈ R∗ et D = {(x1 , . . . , xn ) ∈ (R∗ )n | x1 + . . . + xn = s}. Soit f : (R∗ )n → R+ la fonction + + + d´finie par f (x1 , . . . , xn ) = x1 . . . xn . En utilisant les multiplicateurs de Lagrange, trouver la valeur e maximale atteinte par f sur l’ensemble D. R´ponse : e On obtient les ´quations suivantes pour les d´riv´es

2010-2011 Maximisation et Minimisation sous contrainte Rappels sur la méthode d’optimisation du Lagrangien Le multiplicateur de Lagrange Le multiplicateur de Lagrange est une méthode permettant de trouver les points stationnaires (maximum, minimum...) d’une fonction dérivable d’une ou plusieurs variables, sous contraintes. Visuellement, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver un optimum, sur la figure ci-dessous le point le plus élevé possible, tout en satisfaisant une contrainte

méthodes • Une dite directe ou de substitution • L'autre dite de Lagrange « L ». Cas 2 biens :  méthode : méthode de substitution soit une fonction d'utilité U(x,y) et un revenu R : R = Px.x + Py.y à l'équilibre le rapport des utilités marginales des biens est égal au rapport de leurs prix : Umx/Umy = Px/Py de cela on déduit x en fonction de y et on substitut x dans R  méthode : Le Lagrangien « L » λ: le multiplicateur de Lagrange L = U(x,y) + λ (R-Px.x + PY.y) Pour maximiser L il faut annuler

pas un point critique de h. Alors il existe un réel µ tel que (x1 , x2 , µ) soit un point critique de L i.e. tel que : ∂L (x1 , x2 , µ) = 0, ∂x1 ∂L (x1 , x2 , µ) = 0 ∂x2 et ∂L (x1 , x2 , µ) = 0. ∂µ On dit que µ est le multiplicateur de Lagrange. Preuve. Comme x n’est pas un point critique de h, on a grad h(x) = 0 et l’on peut supposer : ∂h (x) = 0. ∂x2 On remarque déjà qu’il existe µ ∈ R tel que : ∂f ∂h (x) − µ (x) = 0 en posant ∂x2 ∂x2 µ= ∂f ∂h (x) (x) ∂x2

𝜕𝑓 𝜕𝐾 = 3 3 2 3 1 2 𝐿 1 2 𝐾 1 2 𝐾 −1 2 𝐿 3 2 = 3 𝐾 𝐿 = 𝑤 𝑟 = 10 15 = 2 3 Peut être obtenue en passant par l’écriture de l’expression de la fonction de Lagrange : ℒ(𝐾, 𝐿, 𝜆) = 3𝐾 1 2𝐿 3 2 + 𝜆(600 − 10𝐿 − 15𝐾) Les deux premières conditions du premier ordre pour un maximum (voir le cours) donnent la même expression que celle obtenue avec la

sur tous le domaine. On peut donc conclure que le point ( ; ) est un minimum absolu. C. Calculer la valeur du multiplicateur de Lagrange associée à ce minimum. Vérifier votre résultat en utilisant Excel. Avec le minimum absolu ( ; ), on doit déterminer le multiplicateur de Lagrange. Soit X* = (x*, y*) dans la formule λ*= Si X* = ( alors λ*= = = 0.0176 Le multiplicateur de Lagrange associé au minimum ( ; ) est . PROBLÈME 3 : Modélisation 3.1 Définition des variables, de la fonction-objectif

φ1 = 0.82, θ1 = −0.6, θ2 = +0.4 α0 = 1.2, α1 = 0.30, β 1 = 0.52 q (2) (a) Faites les graphiques de la série yt et des différences premières. (b) Calculez les statistiques de Jarque-Bera. Qu’en déduisez-vous? (c) A l’aide du test du multiplicateur de Lagrange de Breusch-Pagan, vérifier si le modèle ARIMA(1,0,2) accepte l’hypothèse d’effets ARCH. c (d) Récupérez la série des carrés des résidus ε2 et calculez les autot corrélations (ACF) et autocorrélations partielles (PACF) pour 20 retards.

Gibbs mais qui conserve les masse totale Etc… Plusieurs techniques existent. Nous n’en verrons qu’une seule ici , que l’on rencontre souvent en thermodynamique : La méthode des multiplicateurs de Lagrange. Méthode qui peut être aussi utilisée analytiquement. La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de résoudre le problème suivant : Soient X=[x1,x2, …,xn] un ensemble de N variables Nous voulons miniser la fonction f(X) sachant que X est soumis à la contrainte suivante :

non observée est supposée non corrélée avec les régresseurs 1 . Le choix entre les différentes estimations s’appuie sur trois tests statistiques : – la statistique F qui permet de comparer une estimation avec ou sans effets fixes ; – le multiplicateur de Lagrange proposé par Breush et Pagan (1980) teste la pertinence des effets aléatoires contre les effets fixes, la statistique LM suit un chi-deux à un degré de liberté ; – le test de spécification de Hausman (1978) permet de comparer l’estimation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 8 8 8 9 9 11 11 11 13 13 14 15 15 16 2 Caractérisation des extrema 2.1 Equation d’Euler, cas général . . . . . . 2.2 Inéquation d’Euler, cas convexe . . . . 2.3 Multiplicateurs de Lagrange, cas général 2.3.1 contraintes égalités . . . . . . . 2.3.2 contraintes inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .