Multiplication par un scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) La multiplication externe : Soient   R et x1 , x2 .,.., xn   R n , alors on a :  x1 , x2 .,.., xn   x1 ,x2 ,..,xn   R n . Cette opération est appelée la multiplication externe dans R n sur R. . . Exemples. 2.3,1,9  6, 2,18.  3.3;0,1,3   9, 0,3,9. Définition . Soit n  N. On dit que R n muni de l’addition interne (+) et la multiplication externe (.) est un espace vectoriel n et on note ( R ,, .) est un e.v. Les éléments de R sont appelés les scalaires. Les éléments

Séquence 10 Géométrie dans l’espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l’espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l’espace 5. Droites et plans de l’espace 6. Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part de renforcer la vision dans l’espace et d’autre part de donner tous les outils algébriques et géométriques permettant de traiter les problèmes d’intersections de droites et de plans. Séquence 10 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Prérequis A Géométrie plane 1

R-linéaire). Premières propriétés : si f est linéaire : f f i=1 − → − → 0E = 0F n → λi − i x n = i=1 → → → λi f (− i ) (donc f (cl (− i )) = cl(f (− i ))) x x x D2 2) Exemples. a) Homothéties vectorielles. → → → DEF : pour tout scalaire a et tout − de E, on pose ha (− ) = a− ; l’application ha ∈ E E est appelée l’homothétie x x x (vectorielle) de rapport a. PROP : les homothéties sont linéaires. D3 Propriétés immédiates : h1 = idE , ha = a.idE ha ◦ hb = hab = hb ◦ ha ha est bijective

est une famille libre. En effet, s’il existe trois scalaires a, b, c tels que aA + bB + cC = 0, alors on obtient M (a, b, c) = 0 ce qui donne a = b = c = 0. Ainsi, dim(E) = 3. Reste à voir que E est stable par multiplication de matrices. Mais, pour tous a, b, c, a , b , c réels, on a :  aa + cc 0  0 bb M (a, b, c) × M (a , b , c ) =  ac + a c 0  ac + a c  0  = M (aa + cc , bb , ac + a c) ∈ E. aa + cc E est donc bien stable par multiplication. Exercice 17 - Matrices symétriques et anti-symétriques

| |- |Soustraction | |* |Multiplication (la multiplication est obligatoire : pour évaluer 3x on doit absolument entrer 3*x) | |/ |Division | |^ |Puissance

de A. λ = −2 : [A + 2I |0] = 3 x1 = − x2 =⇒ x = 4 x2 libre 4 3 0 4 3 0 −− − − −→ r´duction e 1 3/4 0 0 0 0 3 3 − x2 − = x2 4 4 , x2 un scalaire quelconque. x2 1 3 4 1 1 −1 0 0 0 0 − =L −3 4 . Alors l’espace propre correspondant ` λ = −2 est L a λ = 5 : [A − 5I |0] = −3 3 0 4 −4 0 −− − − −→ r´duction e x 1 x1 = x2 =⇒ x = 2 = x2 , x2 un scalaire quelconque. x2 1 x2 libre Alors l’espace propre correspondant ` λ = 5 est L a Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e 1 1

http://localhost/phpinfo.php IV. CONCEPT DE VARIABLES AVEC PHP Une variable est un objet repéré par son nom, pouvant contenir des données, qui pourront être modifiées lors de l'exécution du programme. Les variables en langage PHP peuvent être de trois types: Scalaires Tableaux Tableaux associatifs Il n'y a pas de type pointeur. Les variables sont précédées obligatoirement du signe $, quelque soit leur type. Leur déclaration est optionnelle. 1. Nommage des variables AVEC PHP, LES NOMS DE VARIABLES

+. En revanche dans Z, tout ´l´ment n a un ee inverse : c’est −n. 2. La multiplication dans N ou Z est associative, commutative et a pour ´l´ment neutre 1. ee Lorsque E poss`de deux lois internes T et × , on peut d´finir la notion de distributivit´ . e e e D´finition 0.0.3 On dit que × est distributive par rapport a T si e ` ∀(a, b, c) ∈ E × E × E, a × (b T c) = (a × b) T (a × c). Exemple : Dans N, Z, Q ou R, la multiplication est distributive par rapport a l’addition. ` Groupes et sous-groupes

élément dans une liste, un tableau, un arbre … comparaisons comparaisons déplacements additions multiplications Tri d’une liste, d’un tableau, d’un fichier… Multiplication de polynômes, de matrices, de grands entiers 7 8 2 Coût des opérations • Dans un ordinateur (un vrai) comme dans une TM ou une RAM, toutes les opérations n’ont pas le même coût. Exemple : multiplication et addition. C’est peu étonnant. La mutiplication est bien une généralisation de l’addition. Pourquoi