Nabla

FORMULAIRE RELATIF AUX OPÉRATEURS r r Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels. 1. Formules portant sur un seul champ: r r r2 1. ∇.(∇ U) = ∇ U r r r 2. ∇ ∧ (∇U) = 0 r r r r 3. ∇ . ( ∇ ∧ a ) = 0 r r r r r r r 2r 4. ∇ ∧ (∇ ∧ a ) = ∇( ∇. a ) − ∇ a → soit div(grad U) = ∆U → → r soit rot (grad U) = 0 →r r soit div( rot a ) = 0 → →r → r r soit rot (rot a ) = grad(div a ) − ∆ a 2. Formules portant sur deux champs: r r r 5. ∇ (UV) = V ∇ (U) + U ∇ (V) r r r r r r 6. ∇. (U a)

\rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0 Équation de bilan de la quantité de mouvement \frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overline{\overline {\tau}} + \rho \vec{f} Équation de bilan de l'énergie \frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left[ \; \left(\rho e

absolue ou différentielle covariante l'opérateur \ D ou \ \nabla défini par \ \nabla u^i = du^i + \Gamma^i_{jk}.u^j.dx^k, on peut écrire dU^i = \frac{\partial X^i}{ \partial x_j}. \nabla u^j. On a donc la propriété : \forall i \in \{0;1;2;3\} \, , dU^i = 0 \Longleftrightarrow \forall i \in \{0;1;2;3\} \, , \nabla u^i = 0 . On appelle parfois principe de correspondance en relativité générale le fait de pouvoir substituer \frac{ \nabla~}{d \tau} à \frac{ d~}{dt} dans les équations de la physique

1 = 0. r L’opérateur nabla L’opérateur nabla 6 peut être un outil mnémotechnique commode pour retrouver les résultats précédents, −− −→ − → mais il est recommandé d’utiliser les notations grad , div et rot des opérateurs vectoriels. → − L’opérateur nabla, noté ∇ , est appelé aussi opérateur de dérivation spatiale. On a −− −→ → − → → → − − − − → → → →− − − gradG = ∇G ; div A = ∇ · A et rot A = ∇ ∧ A . On donne les expressions de l’opérateur nabla dans les différents systèmes

question précédente que l’endomorphisme ∆ est surjectif. 3.b Justifier : ∀P ∈ ℝ [X ], ∃!Q ∈ ℝ [X ] tel que ∆(Q ) = P et Q (0) = 0 . On définit alors une application ∇ : ℝ [X ] → ℝ [X ] en posant ∇(P ) = Q . Rq : Le symbole ∇ se lit « nabla » 3.c Montrer que ∇ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 3.d Observer que ∀P ∈ ℝ [X ], ∀p ∈ ℕ, ∑ P (i ) = ∇(P )(p + 1) p i =0 Partie II On pose : P0 = 1 , P1 = X , P2 = X (X −1) X (X −1)...(X − m + 1) 1 m−1 ,…, Pm = = ∏

solutions analytiques, sous la forme d'ondes se propageant à la vitesse c. -9- Electromagnétisme & Ondes électromagnétiques  Vecteur formel « nabla » Il est possible de regrouper les outils vectoriels sous un même cadre formel, qui facilite bien souvent leur mémorisation et leur utilisation. On introduit ainsi le vecteur formel nabla : ⃗ ( ) On retrouvera les expressions des autres outils vectoriels à partir de lui, mais il est important de garder à l'esprit qu'en toute rigueur

div(gradU) = ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 2- Opérateur Nabla Défini uniquement en coordonnées cartésiennes. ∇= ∂ ∂ ∂ x + y + z ∂z ∂x ∂y Son utilisation peut-être générale car il permet d’exprimer tous les opérateurs précédents sous formes simplifiées en faisant intervenir un produit scalaire ou vectoriel entre nabla. gradU = ∇U divA = ∇•A rotA = ∇∧ A ∆U = ∇•(∇U) ∆A = ∇(∇ • A) − ∇ ∧ (∇ ∧ A) Remarque : l’opérateur nabla ne s’identifiant pas aux composantes du gradient en coordonnées

\twoheadleftarrow \leftrightharpoons \Lsh \downharpoonleft \rightrightarrows \rightleftarrows \looparrowright \circlearrowright \upharpoonright \nLeftarrow \nLeftrightarrow 8 Miscellaneous symbols ∞ ∂ ð ♣ ♦ ♥ ♠ ··· . . . ... .. . \infty \nabla \partial \eth \clubsuit \diamondsuit \heartsuit \spadesuit \cdots \vdots \ldots \ddots \Im \Re ∀ ∃ ∅ ∅ ı  \forall \exists \nexists \emptyset \varnothing \imath \jmath \ell \iiiint \iiint \iint \sharp \flat \natural k \Bbbk \bigstar \diagdown \diagup

Analyse vectorielle : gradient, rotationnel et divergence 1 Notions fondamentales 1.1 Opérateur 'nabla' L'opérateur 'nabla' ou ∇ est très utile en analyse vectorielle. Il permet de déterminer les notions de gradient, rotationnel, divergence et laplacien de manière simple et concise. Il se définit comme suit :  ∂     ∂x     ∂  ∇=   ∂y       ∂     ∂z  1.2 (1) Travail d'un champ vectoriel le long d'une courbe - Intégrale curviligne Soient un champ vectoriel A et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 22.2.1 Principe fondamental de la dynamique (PFD) . . . . . . . . 59 22.2.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 23 Elements d’analyse vectorielle 60 23.1 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.3 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 23.4 Laplacien . . .