Néper

2n0 −1 . c) En déduire que, pour tout n ∈ N, xn 1 + 1 + 1 + 1 + 1 . 2 6 8 d) En étudiant sa monotonie, montrer que la suite (xn )n∈N est convergente, et donner un 1 encadrement de sa limite à 10 près. On admet que cette limite est le nombre de Neper e. 2 - Soit n 1 un entier (fixé pour cette question). e xn + 2 (n+1)! . a) Montrer que, pour tout k n + 1, 2k−n−1 (n + 1)! k!. b) En déduire, pour n n + 1, un encadrement de xn , puis montrer que xn 2 c) Montrer qu’il existe un entier εn tel que

telle que ex = x + 1 + x ϕ(x) et e En particulier : lim lim ϕ(x) = 0. x→0 ex − 1 = 1 et la droite T d’´quation y = x + 1 est tangente ` Γ e a x→0 x au point de coordonn´es (0; 1) et toujours en dessous de Γ. e Nombre de Neper : Le nombre e = exp(1) est appel´1 nombre de Neper. e Le nombre e est un nombre transcendant (comme π) et donc irrationnel. Une valeur approch´e de e ` 10−3 pr`s est 2, 718. e a e Formule de d´rivation : Si u une fonction d´rivable sur un intervalle I, alors la fonction e

ensuite des constantes usuelles : Pi (3.14...), I (complexe qui est une racine carr´ee de -1), infinity (sans commentaire...), gamma (constante d’Euler 0.57721...). A partir de MAPLE version 5, on ne dispose plus de E pour d´esigner le nombre de Neper (2.718...) Il faut l’´ecrire exp(1). Fonctions logarithmiques et exponentielles : exp, log (ou ln), log10 (apr`es avoir tap´e readlib(log10)) , log[b]. Fonctions de parties enti`eres ou fractionnaires : round, trunc, frac, floor, ceil (essayez-les

être expert en programmation structurée. Pour le devenir il faut tout d’abord apprendre à décomposer proprement le problème. Prenons un exemple: supposons que l’on veuille écrire un programme donnant une approximation du nombre e (la constante de Néper). Python contient de nombreuses fonctionnalités ou modules qu’il peut importer. Mais ici, faisons l’hypothèse que e n’est pas connu via le module math. e peut être défini comme la limite de la série: e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + ... Etant donné

la fin, ces branches de la science sont parvenues à un certain degré d'achèvement. Les méthodes mathématiques les plus essentielles sont fixées dans leurs grandes lignes : la géométrie analytique surtout grâce à Descartes, les logarithmes grâce à Neper, le calcul différentiel et intégral grâce à Leibniz et peutêtre à Newton 1. Il en est de même de la mécanique des solides, dont les lois principales étaient élucidées une fois pour toutes. Enfin, clans l'astronomie du système solaire, Kepler avait

cn a tendance à se rapprocher d’un certain nombre. Le premier à avoir pressenti l’existence de ce nombre mystérieux est l’Écossais John Napier (1550-1617), qui inventa les logarithmes (d’où le logarithme népérien après que son nom soit francisé en Néper). Malgré cela, ce nombre est appelé nombre d’Euler, d’après un mathématicien suisse du 18e siècle : Leonhard Euler (17071783). Le nombre d’Euler est défini par la limite e = lim n→∞ 1 1+ n n ∼ 2.71828 = Le nombre e est irrationnel. Cela

continue entre 1 et x > 0. Dans ce qui suit, nous utiliserons le terme logarithme pour d´esigner le logarithme n´ep´erien. En utilisant directement la d´efinition, il est possible de montrer que le logarithme poss`ede les propri´et´es suivantes. 1 Neper ´etant l’appellation latine de James Napier. 289 9.1 Les logarithmes y y ✻ ✻ ... ... ... ... ... ... ln x ... .... ✟ .......... ✟ ... ....... .......... ✟✟ ... ......✟ ................... .. ✟ ✙ ................

sh(t) ch(x + t) = ch(x) ch(t) + sh(t) sh(x) th(x)+th(t) th(x + t) = 1+th(x) th(t) 2 2 th(t/2) 1+th (t/2) sh(t) = 1−th 2 (t/2) et ch(t) = 1−th2 (t/2) x−t x+t x−t sh(x) + sh(t) = 2 sh( x+t 2 ) ch( 2 ) et ch(x) + ch(t) = 2 ch( 2 ) ch( 2 ). Napier (ou Neper) John (1550-1617) 153 CHAPITRE 17 CALCUL DE PRIMITIVES Nous avons vu au chapitre 15 que le calcul d’une int´egrale peut se ramener au calcul d’une primitive de la fonction ` a int´egrer. Nous avons constitu´e au chapitre 16 une biblioth`eque de

Linné, ces branches de la science avaient atteint un certain degré d'achèvement 1 . Les méthodes mathématiques les plus essentielles étaient fixées dans leurs grandes lignes : la géométrie analytique, surtout grâce à Descartes, les logarithmes grâce à Neper, le calcul différentiel et intégral grâce à Leibniz, et peut-être à Newton 2 . Il en est de même de la mécanique des solides, dont les lois principales furent élucidées une fois pour toutes. Enfin, dans l'astronomie 1 2 Engels décrit ici avec minutie

adj. (méd.), néonatal neoplasia n. (bio., path.), néoplasie f. neoplasm n. (bio., path.), néoplasme m. neoplastic(al) adj. (bio., path.), néoplasique neoplasty = neoplasia Neoprene n. (chim.), néoprène m. Neozoic n. (géol.), néozoïque m. neper n. (math.), néper m. (unité logarithmique) neperian logarithm n. (math.), logarithme m. népérien nepheline n. (géol.), néphéline f. nephelinite n. (géol.), néphélinite f. nephelinyte = nephelinite nephelometer n. (instr., méd.), néphélomètre m. nephelometric(al)