Nilpotent

ay. Montrer que c’est une relation d’ordre. Correction Exercice 3011 Eléments nilpotents Soit A un anneau commutatif, et a ∈ A. On dit que a est nilpotent s’il existe n ∈ N tel que an = 0. 1. Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de Z/36Z. 2. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A. 3. Soit a nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible (remarquer que 1 = 1n − an ). 4. Soient a nilpotent et b inversible. Montrer que a + b est inversible. [003011] [003010] Exercice

que c’est une relation d’ordre. Correction [003010] Exercice 3011 Eléments nilpotents Soit A un anneau commutatif, et a ∈ A. On dit que a est nilpotent s’il existe n ∈ N tel que an = 0. 1. Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de Z/36Z. 2. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A. 3. Soit a nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible (remarquer que 1 = 1n − an ). 4. Soient a nilpotent et b inversible. Montrer que a + b est inversible. [003011] Exercice 3012 1 −

,+) ne sont pas isomorphes. 14.19 Éléments nilpotents d’un anneau Soit A un anneau. Un élément a de A est dit nilpotent si et seulement s’il existe n ∈ N∗ tel que a n = 0. a) Soit (a,b) ∈ A2 . Montrer que, si a est nilpotent et si ab = ba, alors ab est nilpotent. b) Soit a ∈ A nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible dans A et exprimer (1 − a)−1 . c) Soit (a,b) ∈ A2 . Montrer que, si a et b sont nilpotents et ab = ba, alors a + b est nilpotent. 14.20 Anneaux intègres finis Montrer que

précédente et la propriété 5), on déduit : ∀ A ∈ GLn (K ), ∀ k ∈ Z, ni Mo er A n ie G Mo re Monie lgèb r éom é bre G r Algè onier étr ie M éom onier èbre M r Alg n ie Mo Si une matrice carrée est nilpotente, alors elle n’est pas inversible. det(Ak ) = ( det(A))k . 3) Si A ∈ Mn (K ) est nilpotente, il existe k ∈ N∗ tel que Ak = 0 , d'où : ( det(A))k = det(Ak ) = 0, tr i e Géomé et donc : det(A) = 0. ni Mo e n ie G Mo r e Monie gèbr r Al éom é bre G r Algè onier étr ie M éom onier èbre

d’Euler, quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 : Transformation de Legendre : continuit´, d´rivablit´, borne sup´rieure. . . . . . e e e e 5 : Irrationnalit´ de e. G´n´ralisation de la formule du binˆme avec un ´l´ment e e e o ee nilpotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 : Nombres complexes et fonctions usuelles : autour de la formule de Machin. . . . 7 : Des suites de moyennes d´finies par r´currence. . . . . . . . . . . . . . . .

mI n ) est de type polynomial de dégré dim G(A, m, I) − 1. Définition 2.1 [N R] On appelle largeur analytique de l’idéal I, le nombre : I (1) λ(I) = 1 + degϕI où ϕI (n) = ( mI n ). λ(I) est un entier positif. λ(I) = 0 si et seulement si I est nilpotent. Dans [NR], si k est infini, alors ht(I) ≤ λ(I) ≤ µ(I). n 10 2.2.3 Largeur analytique de filtrations d’idéaux Le premier auteur à avoir généralisé la notion de largeur analytique d’une filtration f = (In )n∈Z ∈ F(A) est Okon [O], où la

Caractérisation d'une matrice symétrique à l'aide de la transposée. Programme de mathématiques Classe ECT1 Formule du binôme de Newton pour des matrices qui commutent. On se limitera à des exemples simples lorsque l'une des matrices est nilpotente. Matrices carrées inversibles. Matrices associées à un système d'équations linéaires. ' Écriture matricielle d'un tel système. Inversion d'une matrice carrée en liaison avec la résolution d'un système de Cramer. Calcul de l'inverse

sommation vers le bas des blocs de la diagonale donne la trace, ∑ j a jj ∑ i bii = tr(A)tr(B). © 2006 Pearson Education France 8 Économétrie Exercice 14 Une matrice, A, est nilpotente si lim A k = 0. Prouver qu’une condition nécessaire et k →∞ suffisante pour qu’une matrice symétrique soit nilpotente est que toutes ses racines caractéristiques soient inférieures, en valeur absolue, à 1. On utilise la décomposition spectrale pour écrire A comme CΛC′ avec Λ la matrice diagonale des racines

la structure des groupes finis; acquérir les éléments de la théorie des représentations des groupes, ainsi que les notions de groupes libres et de produits libres. Contenu : groupes finis, les théorèmes de Sylow, groupes résolubles, groupes nilpotents, extensions de groupes, groupes libres et produits libres de groupes, représentations linéaires des groupes finis, caractères, représentations de dimension un, représentations induites. Algèbre non commutative (3-0-6) MAT 736 Objectif :

Montrer que T est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe d ∈ N tel que T d = 0). (II) Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E, ∞ ||P|| = n=0 ||P(n) ||∞ (II.3) avec ||P||∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P(n) la dérivée d’ordre n de P. Vérifier que ||P|| est bien une norme sur E. Soit T : E → E défini par T (P) = P , P ∈ E . Vérifier que T ∈ L(E). (i) Montrer que pour tout P ∈ E, il existe n ∈ N tel que P ∈ ker(T n ). (ii) Montrer que T n’est pas nilpotent. Expliquer ce résultat