Nombre complexe

Nombres complexes Exercice 1. zi + zj 1) Soient u, v ∈ C. Montrer que |u + v| + |u − v| 4 |u| + |v|, et d´terminer les cas d’´galit´. e e e 3 4 2) Soient z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C. Montrer que k=1 |zk | k=1 =k+1 |zk + z |. ´ Exercice 2. Equations affines 1) Montrer que toute droite du plan a pour ´quation complexe : az + az = b avec a ∈ C∗ , b ∈ R. e 2) Soient a, b, c ∈ C, a, b non tous deux nuls. Discuter la nature de E = {z ∈ C tq az + bz = c}. Exercice 3. Transformation C \ {i} −→

GÉOMÉTRIE ET NOMBRES COMPLEXES 1. * Soit t un réel. z1 et z2 sont les racines complexes de l’équation z2 + tz + 1 = 0. Quel est le lieu des images de z1 et z2 lorsque t décrit  ? 2. * Soit z un nombre complexe distinct de –1, 0 et 1. Les points A, A’, M, M’ et P ont respectivement pour affixe 1, –1, z, 1z et . Démontrer que la droite (MM’) est bissectrice de l’angle . 3. * Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points d’affixe j, z et jz soient alignés. 4. * Soit

NOMBRES COMPLEXES 1. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i 2. √ , z3 = 1 + i 3 √ 1+i 3 , z4 = . 1−i Calculer les nombres complexes suivants : w1 = (1 + i) 21 , w2 = √ 1+i 3 1−i 20 . 1 + ix . 1 − ix 1 + ix , avec 1 − ix 3. a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e b) Montrer que tout nombre complexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R. c) V´rifier que −1, ix, et e 4. 1 + ix ont des

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 9 Bac S - Polynésie – Juin 2006 Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; [pic] ; [pic] ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = – 1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = [pic]. On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice

Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´, nous utiliserons les symboles suivants : e 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a E”. ` • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´c´dent, le symbole d’inclusion sert e e uniquement a comparer des ensembles ; ainsi la propri´t´ x ∈ E s’´crit ´galement

Les nombres complexes - BTS ATI Table des matières 1 Écritures d’un nombre complexe 1.1 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Forme trigonométrique et forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formules de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Linéariser une expression 2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . .

comExo7 Nombres complexes 1 Les nombres complexes 1.1 Définition . . . . . . . . . . 1.2 Opérations . . . . . . . . . . 1.3 Partie réelle et imaginaire 1.4 Calculs . . . . . . . . . . . . 1.5 Conjugué, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION ET DEFINITION INTRODUCTION Rappelons les inclusions des ensembles des nombres suivants : NC Z C ID C Q C R Considérons l’équation (E) : x2 + 1 = 0. Certaines équations comme (E) n’admettent pas de solution dans R, ce qui explique « l’insuffisance » de R. Le but de ce chapitre est de construire, un nouvel ensemble contenant IR dans lequel toute équation du 2nd degré admet au moins une solution. Imaginons l’existence d’un nombre i tel que : i2 = -1, l’équation

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 3 Bac S Antilles-Guyane Juin 2005 (O ; [pic] ; [pic]) est un repère orthonormal du plan (P) . A est le point d’affixe i et B le point d’affixe –1. f est l’application de (P) privé de O dans (P) qui à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point M’= f(M) d’affixe z’ = [pic] . 1) a) Soit E le point d’affixe zE = [pic] ; on appelle E’ son image par f d’affixe zE’ . Déterminer l’affixe de E’ sous

Séries d’exercices ( Nombres Complexes) Classe : 3ème Math + Sc Exercice 1 : On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ). Dans tout l’exercice P \ {O} désigne le plan P privé du point origine O. 1) On prend comme pré-requis les résultats suivants : Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a :