Nombre rationnel

Nombres réels et complexes I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications : ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y Propriétés

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati`res e 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´els et complexes e Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´els . . . . . . . . . . . . . e Densit´ des rationnels et irrationnels e Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 11 11 13 15 15 16 17 17 17 18 18 19 21 21 23 28 29 33 34 39 39 41 42 44 47 48 50 55 55 55 59 61 . . . . . . . . . .

01. Les nombres complexes 1 1.1 Introduction Construction de C En mathématiques, il arrive souvent que l’on introduise de nouveaux objets pour résoudre un problème : par exemple, les grecs pensaient que seuls les nombres rationnels existaient, mais on a √ vu que 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, était irrationnel. On a complété Q en R. De même, nous savons tous qu’un nombre négatif n’a pas de racine, on introduit le symbole i tel que i2 = −1 et l’ensemble des éléments

TS Cours :51 L’étude des fonctions (En bref) Page : 6 Les ensembles de nombres Ensemble Symbole Description de nombres Naturels ℕ IN {0, 1, 2, 3, ...} – – Entiers ℤ Z {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...} Rationnels ℚ Nombres dont le développement décimal est fini ou périodique. Irrationnels ℚ’ Nombres dont le développement décimal est infini et non périodique. Réels ℝ Nombres qui appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ou irrationnels. 5, 17, 105 et 2688 – – 12, 9, 7 et 916  3, 2 , 11 , -2

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations Non exigible 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. ℕ= . Exemples : 4 ℕ -2 ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. = . Exemples : -2 ℤ 5 ℤ 0,33 ℤ 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini

rappelle que l’ensemble des nombres réels est noté , qu’il contient tous les nombres connus et étudiés en classe de seconde, qu’il est infini et totalement ordonné, ce qui signifie qu’étant donné deux nombres et quelconques, on peut toujours écrire ou ou . On peut représenter géométriquement l’ensemble des nombres réels par une droite orientée munie d’une origine, correspondant au nombre 0, et une unité de longueur, correspondant au nombre 1. I) Les ensembles de nombres 1) Définitions 

nul que pour certaines valeurs discr`etes du temps on trouve : n X ✚ ✝ p ✞✄✑ Sans entrer dans les d´etails, notons que les outils math´ematiques associ´es aux suites sont aussi riches que ceux employ´es dans le cas de fonctions. Un grand nombre de notions primordiales ont leur e´ quivalent telles que l’int´egration ( ✡ tT☛ 0 ) qui correspond dans le cas de s´equences discr`etes a` l’op´erateur somme (∑Nk☛ 0 ), et la transform´ee de Laplace (☞✍✌ x ✝ t ✞✏✎✒✑ X ✝ p ✞ ) dont l’´equivalent

sur . On a pour tout x réel : g ‘(x) = 12x 3 + 3x 2 + 2x + 1. [pic] c) Soit v(x)=x 2 +2. Alors v est dérivable et ne s’annule pas sur donc ))est dérivable sur . On utilise [pic]. On a pour x réel : [pic] soit : d) La fonction i est rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition. En utilisant la formule [pic] ; on obtient pour tout x [pic]-2 : [pic]…=[pic]donc [pic] Exercice 2 : C’est l’exercice 32 page 116 dont la correction figure page 506 de votre livre. Exercice

le noyau du système est incompatible parce qu'il a été récrit pour éviter le versement de droit d'auteurs à AT&T grep est de recevoir une expression rationnelle en ligne de commande, de lire les données sur l'entrée standard ou dans une liste de fichiers, et d'écrire les lignes qui contiennent des correspondances avec l'expression rationnelle sur la sortie standard. chmod La commande chmod permet de modifier les droits d'accès sur les fichiers ou répertoires. Les paramètres de chmod se

x − x 2 + o x 2 Exemple 2 : Q(x) = (1 + x)4 ⇒ Q(x) = 1 + 4 x + 6 x 2 + o x 2 Exemple 3 : Q ◦ P (x) = 1 + 4 (x − x 2 ) + 6 x 2 + o x 2 = 1 + 4 x + 2 x 2 + o x 2 Donc : Q ◦ P (0) = 4 (Pourquoi ?). 3. DL d’une fonction rationnelle Proposition 3.4 Toute fonction rationnelle : f : D = R\Q −1 (0) ⊂ R → R : x → P (x) , telle que Q(0) Q(x) est non nul, admet en 0 un DL à tout ordre n, dont la partie régulière s’obtient en effectuant la division puissances croissantes du polynôme P par le polynôme