Normale à une surface

z)) un champ de vecteurs. 6.1.1 D´finition e On appelle int´grale curviligne de V le long de γ, l’int´grale : e e b V · γ dt = P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) + γ R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt a Exemple Calculer l’int´grale curviligne donnant la circulation du vecteur V = e x−y x+y le long du cercle C de centre (0, 0) et de rayon 1. Le cercle C sera param´tris´ par : e e   x = cos t y = sin t γ(t) :  t ∈ [0, 2π] Par d´finition

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie 1 : Étude de la fonction f 1. Comme x est supérieur à zéro, le signe de f (x) est celui de 1 − ln x. Or 1 − ln x > 0 ⇐⇒ 1 > ln x ⇐⇒ ln e > ln x ⇐⇒ e > x par croissance de la fonction ln. On a donc : f (x) > 0 ⇐⇒ 0 < x < e ; f (x) < 0 ⇐⇒ x > e. x→0 6 points f (x) = 0 ⇐⇒ x = e ; 2. • Au voisinage de zéro : f (x) = x − x ln x. On sait que lim x ln x = 0, donc lim f (x) = 0. x→0 • Au voisinage de plus l’infini : On a lim x = +∞ et lim 1 −

1 log(x2 + y 2 ) + c(y) 2 ou c(y) est une fonction de y. De la seconde equation on obtient alors que ∂f y + c� (y). = 2 2 ∂y x +y On peut alors prendre c(y) = 0. 1 2. Calculer l’int´egrale curviligne (1, 0) au point (0, 4). On a � Γ � Γ V · dM le long du segment qui va du point V · dM = f (0, 4) − f (1, 0) = log 16 − log 1 log 16 = 2 2 Exercice III. On consid`ere l’ensemble d´efini par � � D = (x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 3x 1. Tracer

Cours d’Analyse e Licence 1`re ann´e – 2008/2009 e Nicolas Prioux Universit´ Paris-Est Marne-la-Vall´e e e Table des mati`res e I 1 1.1 Fonctions ` une variable a Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symboles Math´matiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

type projection à appliquer pour obtenir une carte. Cette fois encore, ce choix est conduit par l'usage qui sera fait de la carte mais aussi de la position de la région à cartographier sur le globe. Les projections peuvent avoir diverses propriétés : projection équivalente : conserve localement les surfaces ; projection conforme : conserve localement les angles, donc les formes ; projection aphylactique : elle n'est ni conforme ni équivalente, mais peut être équidistante, c'est-à-dire conserver

des matières A) Systèmes linéaires ………………..…..……………………….. page 2 1) Définitions ……………...……………………………….…. page 2 2) Résolution d’un système linéaire par substitution …….…... page 2 3) Règle de Cramer …………………….…………….………. page 5 B) Géométrie analytique dans le plan (rappels)………………… page 9 1) Repères du plan ………………..………………………….. page 9 2) Calcul vectoriel dans un repère du plan …………………… page 9 3) Equations d’une droite ………………..………….….…….. page 10 4) Vecteur normal d’une droite

Question du cours – Soit g : R2 −→ R une fonction de classe C 2 sur Dg ⊂ R2 . Ecrire la formule de Taylor ` a l’ordre 2 autour de (x0 , y0 ), un point interieur de Dg . Exercice 1 – Soit f : R2 −→ R la fonction d´finie par e f (x, y) = √ x3 + y 3 . 1. D´crire Df , le domain de d´finition de cette fonction. Faire un dessin dans le plan xy. e e 2. Calculer le gradient de f . 3. Trouver un vecteur normal au graphe de cette fonction au point (1, 2, f (1, 2)). 4. Ecrire l’´quation du plan tangent au graphe

La valeur du paramètre correspondant au point A est t = 5 (2) Le plan Π passe par les points D(−1; 13; −10) et B(6; 11; −2) et admet comme vecteurs directeurs     1 7 −→   −   d = −2 et DB = −2. Ainsi, un vecteur normal n de Π s’obtient facilement 2 8 −12 −→  −  d × DB =  6  12    Puisque B(6; 11; −2) ∈ Π, on a 2   −1 = n −2  2 · 6 − 1 · 11 − 2 · (−2) + d = 0 ⇔ d = −5 1 2 − − →     (3) L’angle cherché correspond à l’angle aigu formé par d = −2 et AB =  8

plan et I leur milieu on a ‫ܫ‬ሺ ௫ା௫ ᇲ ௬ା௬ ᇲ , ଶ ሻ ଶ Soient ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ, ‫ܤ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ deux points du plan et ߙ ݁‫ ߚ ݐ‬deux réels tels que ߙ ൅ ߚ ് 0. le barycentre G des points ሺ‫ܣ‬, ; ߙሻ݁‫ ݐ‬ሺ‫ܤ‬, ߚሻ a pour coordonnées ‫ܩ‬ሺ ఈ௫ାఉ௫ ᇲ ఈ௬ାఉ௬ ᇲ , ఈାఉ ሻ ఈାఉ Soient ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ, ‫ܤ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ, ‫ܥ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱᇱ , ‫ ݕ‬ᇱᇱ ሻ trois points du plan et ߙ , ߚ ݁‫ ߛ ݐ‬trois réels tels que ߙ ൅ ߚ ൅ ߛ ് 0. le barycentre G des points ሺ‫ܣ‬, ; ߙሻ, ሺ‫ܤ‬, ߚሻ݁‫ ݐ‬ሺ‫ܥ‬, ߛሻ a pour coordonnées ‫ܩ‬ሺ

correspond à l’isostatisme-MIP et le maintien de la pièce par un serrage (MAP) Pour supprimer les degrés de liberté, il suffit d’utiliser une ou plusieurs liaisons qui s’opposent aux mouvements. ------------------------------------------------- La pièce doit être positionnée par rapport à la machine dans une situation telle que l’on puisse réaliser plusieurs pièces identiques. 2. Problématique Sur une série de pièce parallélépipédique, il faut percer un trou respectant les cotes A et B Pour