Ntic Limite

Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement

des deux suites : [pic] Et de plus, une récurrence immédiate montre que [pic] et [pic]. Soit [pic]. Les suites [pic] et [pic] sont donc adjacentes. Elle convergent vers une même limite c. Le passage à la limite dans (1) donne : [pic], soit que [pic]. Le passage à la limite dans (4), sachant que g est continue (en c en particulier), donne [pic], soit [pic], d’où l’existence du réel cherché, et le théorème. Remarques : Le théorème est faux en général quand

considérant h strictement négatif, on obtient : f (a + h) ≤ f (a) ≤ A(a + h) − A(a) ≤ f (a + h) h Si on fait tendre h vers 0 et en tenant compte du fait que la fonction f est continue sur R, donc sur R+ en particulier, on obtient, après passage à la limite : A(a + h) − A(a) = f (a) h→0 h lim y Cf : y = 0.9 × e−0.9x f (a) f (a + h) O a a+h x Ce qui nous permet de dire que la fonction x A : x −→ est dérivable sur R+ et vérifie f (t)dt 0 La fonction A est appelée primitive

Chapitre 2 Chapitre 2. Limites de fonctions Activités et applications Application 2 1. Limites d’une fonction à l’infini Activité. Au voisinage de + ∞ 1. f(102) = 1,000 1 ; f(106) = 1 + 10–12 = 1,000 000 000 001 ; f(108) = 1 + 10–16 ; f(1010) = 1 + 10–20. 2. f(x) est aussi proche que l’on veut de 1 dès que x est assez grand (voisin de + ∞). lim f(x) = – ∞ ; lim f(x) = + ∞ ; x → –∞ x → +∞ lim – f(x) = + ∞ ; lim+ f(x) = – ∞. x→1 Application 1 x→1 1. 3. Limites et asymptotes parallèles aux

Chapitre 8 Limites et comparaison des fonctions numériques On rappelle que R = R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, +∞]. 1 Limite en un point de R 1.1 Voisinages d’un point de R Définition 1 Voisinages d’un point de R 1. Si x 0 ∈ R, on appelle voisinage de x 0 tout intervalle V ouvert et centré en x 0 , ie du type ]x0 − δ, x 0 + δ[ où δ > 0. On définit aussi les voisinages à droite de x 0 par Vd =]x 0 , x0 + δ[, et les voisinages à gauche par Vg =]x 0 − δ, x 0 [. Remarquons que x 0 ∈ V mais x 0 ∉ Vd et x 0 ∉ Vg

LES LIMITES Introduction Considérons la fonction ¦ définie sur ]1 ; +¥[ par : ¦(x) = 3x - 4 x -1 · Calculons ses valeurs (arrondies à 10-5 près par défaut) lorsque la variable x devient de plus en plus grande : x 2 5 10 50 100 1 000 10 000 ¦(x) 2 2,75 2,88889 2,97959 2,98989 2,99899 2,99989 On constate que lorsque les nombres x deviennent de plus en plus grands, les nombres ¦(x) s'approchent aussi près que voulu du nombre 3. On dira que

24/06/12 Limite de fonction Premi re - Limites Cours de premi re 2 - Limi e Lire cette page? A la limite... Les limites de fonction permettent de décrire le comportement d'une fonction lorsque x devient tr s petit, tr s grand, ou se rapproche d'une valeur pour laquelle la fonction n'est pas définie. Limite de fonction La notation (se lit: "x tend vers plus l'infini") symbolise un déplacement tr s loin à droite sur l'axe des abscisses. On écrit pour décrire le comportement de f lorsque

Limites – Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Limite d’une fonction en +∞, en −∞ 3 1.1 Limite infinie en +∞, en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite en un réel a 7 2.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 CHAPITRE 2 : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE VARIABLE REELLE 1. Limites : 1.1. Notion de limite et définitions : 1.1.1. Limite en un point x0 de ℝ : Soit une fonction f définie sur un ensemble E qui est un intervalle ou une réunion de deux intervalles tels que l’union de E et de x0 soit un intervalle. Exemples : E = ]0 ; 1] et x0 = 0 E = [-1 ; +∞[ et x0 = -1 La fonction f admet une limite l lorsque x tend vers x0 si elle vérifie la propriété suivante : ∀�� ∈ ℝ+

FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Objectifs  Connaître et manipuler les notions de limites  Connaître la notion de continuité  Connaître les notions de limites et continuité à droite et à gauche Dans tout ce chapitre, a ∈ R c'est à dire que a ∈ [−∞; +∞]. I désigne un intervalle de R contenant a, ainsi a peut-être une borne de I . 1 Dénition de la notion de limite 1.1 Limite nie en a Dénition 1. Soit f ∈ F (I, R) et l ∈ R 1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet l pour limite en a si et