Opérateur laplacien

FORMULAIRE RELATIF AUX OPÉRATEURS r r Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels. 1. Formules portant sur un seul champ: r r r2 1. ∇.(∇ U) = ∇ U r r r 2. ∇ ∧ (∇U) = 0 r r r r 3. ∇ . ( ∇ ∧ a ) = 0 r r r r r r r 2r 4. ∇ ∧ (∇ ∧ a ) = ∇( ∇. a ) − ∇ a → soit div(grad U) = ∆U → → r soit rot (grad U) = 0 →r r soit div( rot a ) = 0 → →r → r r soit rot (rot a ) = grad(div a ) − ∆ a 2. Formules portant sur deux champs: r r r 5. ∇ (UV) = V ∇ (U) + U ∇ (V) r r r r r r 6. ∇. (U a)

Seuillage avec S=25 Source : Caroline Rougier. Traitement d'images (IFT2730). Univ. de Montréal. Seuillage avec S=60 20 Deuxième dérivée de l’image Laplacien 21 Deuxième dérivée de l'image  Une autre approche pour trouver les contours de l'image est d'utiliser la seconde dérivée de l'image  Pour cela, on utilise le Laplacien comme opérateur ∂I ∂I ∇ I= 2+ 2 ∂x ∂y 2 22 Dérivées de l'image Les contours correspondent :   Aux maxima de la première dérivée Aux passages par zéros de la

correspondent à la convolution d’une image par un filtre 2D de réponse impulsionnelle finie. Exemple : filtre de Sobel Segmentation par contour : Approche classique 34  Détection de contours par passage par zéro Ici on se sert de l’opérateur Laplacien pour la détection des contours Illustration : Segmentation par contour : Approche classique 35 Extraction de contours Extraction de contours par seuillage Notion de contours multi-échelle  Extraction de contours par seuillage  Le but est

Analyse vectorielle : gradient, rotationnel et divergence 1 Notions fondamentales 1.1 Opérateur 'nabla' L'opérateur 'nabla' ou ∇ est très utile en analyse vectorielle. Il permet de déterminer les notions de gradient, rotationnel, divergence et laplacien de manière simple et concise. Il se définit comme suit :  ∂     ∂x     ∂  ∇=   ∂y       ∂     ∂z  1.2 (1) Travail d'un champ vectoriel le long d'une courbe - Intégrale curviligne Soient un champ vectoriel A et

sous la forme \overrightarrow{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right) en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1er ordre. Les opérateurs gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur : \mathrm{div} \; \vec{a} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{a} ; \overrightarrow{\mathrm{grad}} \; A = \overrightarrow{\nabla} A ; \Delta \; A = \overrightarrow{\nabla}

champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Divergence d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . 10.5 Laplacien scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Laplacien vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1 Circulation d’un champ vectoriel . . . . . . . . . 10

leur divergence sont nuls, ce qui annule le terme en forces volumiques dans les ´equations de Beltrami-Michell, qui deviennent : ∆(σ) + −−→ 2(λ + µ) grad(grad(Σ)) = 0 3λ + 2µ (15) De plus, appliquant l’op´erateur laplacien `a l’´equation pr´ec´edente, on fait apparaˆıtre le laplacien de Σ, qui est nul car il d´epend uniquement de la divergence des forces volumiques. On en d´eduit que le tenseur des contraintes est 5 dans ce cas ”bi-harmonique”, c’est-`a-dire qu’il satisfait la condition ∆(∆(σ))

. . . . . . . . 37 Ex. 2.1 : D´emonstration de la formule de la divergence dans le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . 38 2.4.4 2.5 2.6 Application : signification physique de l’op´erateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 38 Laplacien d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.1 D´efinition intrins`eque ` a partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.2 Expressions en rep`ere orthonorm´e

Montrer que, si f est une fonction polynomiale homogène sur R3 de degré N , x1 ∂f ∂f ∂f + x2 + x3 =Nf . ∂x1 ∂x2 ∂x3 8. On désigne par FN l’espace vectoriel des polynômes homogènes sur R3 de degré N . Trouver la dimension de FN . ∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 le laplacien sur les fonctions sur R3 . Une fonction f de classe ∂x2 ∂x2 ∂x3 1 2 sur R3 telle que ∆f = 0 est appelée harmonique. Soit C 9. Soit ∆ = HN = {f ∈ FN | ∆f = 0} l’espace vectoriel réel des polynômes homogènes harmoniques sur R3 de degré N . On se propose

pseudo-période et la longueur d’onde) t d- Rappeler l’équation de d’Alembert à 3 dimensions. ∂2 f − c 2 ∆f = 0 2 ∂t e- Montrer que s(r,t) vérifie l’équation de d’Alembert. On utilisera les hypothèses de symétries et on utilisera l’expression du Laplacien de s en coordonnées sphériques suivante : 1 ∂  ∂s  ∆s = 2  r 2  puisque θ et ϕ n’interviennent pas. r ∂r  ∂r  A Pour le cas de l’onde s (r ,t ) = cos(ωt − kr + ϕ ) , r V. Ciarletti, R. Modolo Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines