Optique géométrique

Le symbolisme et les symboles Les francs-maçons sont vivement encouragés à réfléchir et à méditer sur les symboles. Dans l’étude des symboles, il faut toujours garder présent à l’esprit le but qui est de parvenir à la signification derrière le symbole étudié. Un symbole est une forme qui voile ou cache une pensée, une idée ou une vérité Il faut aussi se rappeler que le symbole que nous voyons est comme la partie visible d’un iceberg immergé. La plus grande partie est invisible pour nous

C H A P I T R E Suites (p. 10) Suites La variation absolue n’est pas constante. 8 6, 4 • = 0,8 et = 0,8 . Les coefficients multipli10 8 cateurs sont les mêmes : la consommation peut être modélisée par une suite géométrique. 3 b. L’augmentation est de 11 pour 1 000, ou 1,1 % par an. A Vrai ou faux ? a. Vrai : CM − 1 = Reconnaître une variation absolue ou relative 60 600 − 1 ≈ 0,25 , soit 25 % . 48 400 b. Vrai : VF = ( 1 − 0,20 ) × VD . 60 000 = 750 000 . Donc VD = 0, 8 Et 750 000

2a Signes et racines | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 | 2 racinesx1 et x2 | Une racine : x1=(-b)/2a | Pas de racine | Signe de a |0| a |0|aDs le tableau | Signe de a|0|a | Signe de a | | | | Suites Arithmétiques & Géométriques I-Suites arithmétiques * On dit q’une suite (Un) est une suite arithmétique s’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n on ait : Un+1= Un+r (formule par récurrence) R est la raison de la suite (Un), il peut

raison a. Somme de termes consécutifsa) Pour tout entier naturel n : b) Si (un) est une suite arithmétique, . Suites géométriquesUne suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n un+1= q.un. Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique. Sens de variationSoit (un) une suite géométrique de raison q. On a . Si u0 et q sont strictement positifs, on en déduit que : si q > 1, la suite (un) est strictement croissante. si q < 1

manière générale : ∑ = nombre de terme * (premier terme + dernier terme) / 2 Suite géométrique : un+1 = un*q  un = u0*qn Les suites géométriques sont des suites à croissance exponentielle (de base q). Somme d’une suite géométrique : De i = k à k + n - 1 : ∑ uk = (uk – uk+n-1) / (1 – q) = uk*((1 – qn) / (1 – q)) De manière générale : ∑ = premier terme * (1 – q^nombre de termes) / (1 – q) Suite arithmético-géométrique : un+1 = un*q + r Chapitre 3 : Intégrale et primitive. Définition primitive :

Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2 Passer à l’exponentielle donne le résultat. Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique - L1/Math Sup Par concavité du logarithme : ln a1 + · · · + an n ≥ ln(a1 ) + · · · + ln(an ) . n On applique l’exponentielle et les propriétés habituelles du logarithme pour trouver le résultat ! Exercice 5 - Intégrale - L1/Math Sup La corde

la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 2. 1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner

\in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique. Terme général[modifier | modifier le code]

la somme d'une suite arithmétique : Sn = Uo + U1 + U2 + U3 + ... + Un On applique cette formule : Sn = (premier terme + dernier terme).(nombre de terme) / 2 C'est rare lorsqu'il demande de la calculer. Concernant les suites géométriques. Si on pose Vn une suite géométrique de raison q, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on multiplie par la raison : Vn+1 = q.Vn On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel

Chapitre 1 : rappels sur les suites 24 septembre 2013 Contrôle de mathématiques Lundi 23 septembre 2013 Exercice 1 ROC 5 points 1) On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 a) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme 1 − qn+1 1−q b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 S n = u0 2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique