Parabole

l’axe (OZ) de la demi-parabole contenue dans le Plan (Oyz) d’équation z=y² avec y  0 . Intersection du paraboloïde et d’un plan parallèle à (Oxy) Soit a un réel positif. L’intersection du paraboloïde avec un plan parallèle à (xoy) d’équation z = a est un cercle de centre (0;0; a) et de rayon a dans le plan d’équation z = a . Intersection du cône et d’un plan parallèle à (Oxz) ou (Oyz) L’intersection du paraboloïde avec le plan d’équation x = a est la parabole d’équation z  a ² 

les liaisons possibles entre un certain nombre de villes. On sait qu'il y a 45 liaisons en service. Quel est le nombre de villes desservies par cette compagnie aérienne ? Exercice 29 Résoudre l'équation : [pic]( 2x ( 3 Exercice 30 Une parabole P admet, dans un repère (O ;[pic]), une équation du type : y ( a[pic]( bx ( c (a ( 0) Déterminer les coefficients a, b et c sachant que P coupe l'axe des abscisses (Ox) au point A d'abscisse 3, l'axe des ordonnées (Oy) au point B d'ordonnée 2

= 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = = −2 2 2 −( −1) + 25 1 + 5 x′′ = = =3 2 2 2 • Solution graphique : L'équation peut s'écrire : x 2 = x + 6 On trace la parabole d'équation y = x 2 On trace la droite d'équation y = x + 6 Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Les solutions sont donc x = −2 et x = 3 . FI_EQ2.DOC II. Factoriser le trinôme du second degré : • Exemple

Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = = −2 2 2 −( −1) + 25 1 + 5 x′′ = = =3 2 2 2 • Solution graphique : L'équation peut s'écrire : x 2 = x + 6 On trace la parabole d'équation y = x 2 On trace la droite d'équation y = x + 6 Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 Les solutions sont donc x = −2 et x = 3 . FI_EQ2.DOC -1 0 1 2 3 4 II. Factoriser le trinôme

B(X) + + 0 0 - - -2 4) –La parabole représente par un trait est la fonction A(x)= -X2 +X+6 car elle coupe l’axe des abscisses en -2 et en 3 tout comme X1 et X2 (question 1) .Mais aussi grâce aux coordonnées du sommet qui sont X=0.5  y=6.25 et l’étude de signe (question 3, tableau de signe) –La parabole représente par des tirets est la fonction B(X) = 0.5X2 -3X +2.5 car elle coupe l’axe des abscisses en 1 et en

fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) : Seule la fonction inverse a une limite finie en (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs supérieures à 0, donc positives). • Pour en déduire les limites en , on doit se rappeler que la parabole représentant la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que la courbe représentant la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine : et Les deux branches de l'hyperbole d'équation sont également symétriques par

cas : a>0 2e cas : a<0 En particulier, la fonction f admet un extremum en x=α Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme du second degré fest une parabole dans le sommet S a pour abscisse x=α. Cette parabole a pour axe de symétrie la droite x=α. 1er cas : a>0 2e cas : a<0 Exemples : Les fonctions f, g et h sont définies sur R tels que : fx=xx-2 gx=2x-32-5 hx=x2-6x+5 Pour fx : a=1 ;b=-2 ;c=0 Pour g(x) : a=2

Δ = 16 – 16 = 0, l’équation a une racine double. Cela correspond à la parabole ᏼ1. 1 • g(x) = x2 – 3x + 7. 2 Δ = 9 – 14 < 0, l’équation n’a pas de solution. Cela peut correspondre à ᏼ2 ou ᏼ4. 1 g est du signe de a, donc de > 0. 2 g correspond à ᏼ2. • h(x) = – x2 + x + 2. Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ; l’équation a deux racines. Cela correspond à la parabole ᏼ3. • i(x) = – x2 – 2x – 3. i devrait correspondre à la parabole ᏼ4. On vérifie : Δ = 4 – 12 < 0 et a = – 1 < 0. i correspond bien à ᏼ4

est une parabole de sommet : �� −�� −�� ; �� 2�� 2�� �������� �� −�� ∆ =− 2�� 4�� Le sens de variation de �� dépend du signe de ��  Si a > 0 �� −∞ −�� 2�� −�� �� 2�� +∞ ���� 2 + ���� + ��  Si a < 0 �� ���� 2 + ���� + �� �� −∞ −�� 2�� −�� 2�� +∞ Exemples : �� �� = −2�� 2 + 3�� − 1 �� < 0 d’où : −�� −3 3 = = 2�� 2 × −2 4 −�� 3 3 2 3 9 9 9 18 8 1 �� = �� = −2 × +3× − 1 = −2 × + −1=− + − = 2�� 4 4 4 16 4 8 8 8 8 Donc la courbe représentative de la fonction �� est une parabole de sommet

graphique Remarques : 1) Le tableau de valeurs n’est pas un tableau de proportionnalité. La fonction carrée n’est donc pas une fonction linéaire. 2) Dans un repère (O, I, J), la courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. 3) Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 18 à 24 (page 10 et 11) p94 n°28