Partie bornée

inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions définies sur un intervalle I qui ne sera pas un segment mais qui seront continues par morceaux sur tout segment inclus dans

Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure Exo7 Intégrale de Riemann 1 Rappel Soient f une fonction bornée et σ = {a0 = a < a1 < · · · < an = b} une subdivision de [a, b]. On note : mk = inf{ f (x), x ∈ ]ak−1 , ak [} et Mk = sup{ f (x), x ∈ ]ak−1 , ak [ }. On appelle somme de Riemann inférieure relativement à σ la quantité : Sσ := ∑n mk (ak − ak−1 ) . De même, la somme supérieure de Riemann de f k=1 f σ relativement à σ est égale à S f := ∑n Mk (ak − ak−1 ) . La somme inférieure

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

origine, correspondant au nombre 0, et une unité de longueur, correspondant au nombre 1. I) Les neuf types d’intervalles Les neuf types d’intervalles sont : 1) Les intervalles fermés bornés Soit et deux nombres réels. On appelle intervalle fermé borné de à , et on note ; , le sous-ensemble de contenant tous les nombres réels compris entre et  ; les nombres et sont eux-mêmes éléments de ; . ; Remarques. , Les nombres et sont appelés bornes de l’intervalle  ; . Si , on adopte la convention :  ;

vol. Variantes Différentes problèmes peuvent être posés autour de le recherche du chemin de coût minimum : Problème A : Consiste à rechercher le chemin de coût minimum entre deux points donnés s et p. Problème B : Consiste à déterminer, à partir d’un point donné, s, le chemin de coût minimum pour aller à tous les autres nœuds. Problème C : Consiste à trouver, pour n’importe quelle paire de nœuds, le chemin de coût minimum entre eux. Remarques Le problème A étant résolu par le Problème

cinq grands rectangles blancs :   S5 = 1 5 1 5 2 + 2 5 2 + Comme les rectangles grisés sont entièrement contenus dans le domaine D qui, lui-même, est entièrement contenu dans les grands rectangles blancs, on a bien : borne supérieure (pour a) On a donc : ). Tranche Hauteur des rectangles hachurés en Hauteur des rectangles hachurés en 0; 0 1 n 1 n 1 2 ; n n 1 n 2 2 2 n 2 sn = 1 n 1 n 2 + 2 n 2 + ... + k n 2 +

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

fsr.ac.ma/mia/ Outline Contents 1 2 3 Notion de fonction et notations Propri´ t´ s de base ee Majorant, minorant d’une partie de R 3.1 Borne inf´ rieure, borne sup´ rieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 1 2 4 4 1 Notion de fonction et notations Introduction D´ finition e ´e ´e Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous-ensemble) de E si tout el´ ment de A est un el´ ment de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂

compréhension E = {x / x vérifie une propriété (P )}. Exemple : Si E1 = {1, 2, 3, 4} alors E2 = {x ∈ E1 / x vérifie 2 ≤ x ≤ 5} est dite expression par compréhension E2 = {2, 3, 4} est dite expression explicite Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous ensemble) de E si tout élément de A est un élément de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E. A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E) 1 Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI 2 Remarque : Le symbole ∈ dénote l’appartenance