Petit théorème de Fermat

  On note  par exemple le nombre  en base 5 qui s'écrit :  en base 10.  Exemple :  Déterminer les entiers naturels  et  tels que   On doit écrire chacun de ces nombres en base 10 :    Après calcul, on obtient :   Sachant que  car la plus petite base écrite est 8, on cherche à déterminer  et . (2)  De (1) on tire la valeur de   D'après (2) on a l'encadrement de  :  qui, après résolution de ces inégalités donne .  On choisit donc . La valeur de  s'en déduit, soit   Remarque : Pour trouver  et 

4 º 5 (11) donc (2 4 ) 2 º 5 2 (11) soit 2 8 º 3 (11) 2 10 = 2 8 ´ 2 2 donc 2 10 º 3 ´ 4 (11) soit 2 10 º 1 (11) Autre solution plus courte ; Petit théorème de Fermat : Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors a p – 1 º 1 [p] 11 est un nombre premier et 11 ne divise pas 2 donc d'après le petit théorème de Fermat : 2 11 – 1 º 1 [11] (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2 2009 = 2 2000 ´ 2 9 = (2 10 ) 200 ´ 2 9 donc

un entier x strictement inférieur à n . Le mot FERMAT est représenté par la liste  6,5 ,18 ,13 ,1 ,20  . On crypte x en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de x e par n . • Vérifier que le cryptage du mot FERMAT est  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  • Crypter le mot ARITHMETIQUE. 4) Décryptage. On décrypte y en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de y d par n . • Vérifier que le décryptage de  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  est FERMAT • Décrypter le mot  29,6 ,1 ,22 ,27 ,3  5) Comprendre

XERCICE 2 Réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Partie A. Quelques exemples 1. 4 ≡ 1 mod 3, donc 4n ≡ 1n mod 3 et finalement 4n ≡ 1 mod 3. 5 points 2. 4 est premier avec 29 (29 est premier). Donc d’après le petit théorème de Fermat 429−1 − 1 ≡ 0 mod 29 ou encore 428 − 1 est divisible par 28. 3. 4 = 0 × 17 + 4 ; 42 = 0 × 17 + 16 ; 43 = 3 × 17 + 13 ; 44 = 15 × 17 + 1. La dernière égalité montre que 44 ≡ 1 mod 17, d’où 44 44k ≡ 1 mod 17 ou encore 44k − 1 ≡ 0 mod 17. Conclusion

ont donc au moins 7 chiffres. • Exercice 7. Soit N un nombre absolument premier dont l’écriture décimale est : c1c2…..cn-6 aaaaab avec a et b deux chiffres différents. Alors l’entier M dont l’écriture décimale est : c1c2…..cn-6 est divisible par 7. Théorème. Tout nombre absolument premier est soit un « repunit », soit un nombre dont l’écriture décimale à n chiffres est obtenue par une permutation des chiffres du nombre représenté par : Bn (a,b) = aaa….aaab (n-1 fois a et une fois b) avec a différent

p > 3 un nombre premier. Montrer que 24 | p2 − 1. . Exercice 39 [ 01222 ] [correction] Soit p un nombre premier. a) Montrer ∀k ∈ {1, 2, . . . , p − 1} , p | b) En déduire que ∀n ∈ Z, np ≡ n [p] Ce dernier résultat est connu sous le nom de petit théorème de Fermat (1601-1665) p k Exercice 33 [ 01217 ] [correction] Soient a, b, a , b ∈ Z avec b et b premiers entre eux. Montrer que le système x = a [b] x=a [b ] possède des solutions et que celles-ci sont congrues entres elles modulo bb . Exercice

Jellouli Résumé vidéo «Le Dernier théorème de Fermat» Simon Singh: Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonça en marge d'une traduction(du grec au latin) des arithmétiques de Diophante, au regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens. En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme ceci: Théorème 1 — Il n'existe pas de nombres entiers

démonstration du théorème de Fermat Vianney BERNET Juin 2007 Bertrand LAMBELIN Sommaire Sommaire p2. Introduction p3. I. Historique du Grand théorème de Fermat p4. 1. Pierre de Fermat p4. 2. Peu à peu, différents cas sont démontrés II. Méthode utilisées pour la démonstration p7. 1. Démonstration pour le cas n=4 p7. A. Démonstration en deux étapes B. Conséquences du Théorème de Fermat pour n=4

I qui n’est pas une borne de I (ie x 0 ∈ I ). On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite en x 0 lorsque : ∀ε > 0, ∃δ > 0/ ∀x ∈]x 0 − δ, x 0 + δ[, | f (x) − ℓ| ≤ ε On le note lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ. x→x0 x0 x→x0 ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 160 1 Limite en un point de R Remarquons cette fois qu’il est nécessaire que x 0 ∈ D f . sin x = 1 puisque la fonction x −→ x→0 x sin x sin x sin x n’est pas définie en 0. On devrait écrire à la place que lim−

Plan 1 2 3 4 PGCD Zn et Z∗n Algorithme d’Euclide Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler Théorème chinois Déchiffrement RSA Eléments primitifs Théorème de Lucas Fonctions génératrices Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples La fonction ζ Produit Eulerien Prolongement analytique de ζ Répartition des nombres premiers Le théorème de la progression arithmétique La fonction ζ PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ