Polynôme de Bernstein

Calcul scientifique Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3

Quand t parcourt l’intervalle [0, 1], il est clair que le point M(t) décrit tout le segment [AB]. A Définition 1 : M(t) B Le segment [AB] est la courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B. Les polynômes 1 − t et t sont les polynômes ou poids de Bernstein de degré 1. 1.2.ii) Courbe de Bézier de degré 2 Construisons une autre courbe en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède : 1ère étape : 2 courbes de Bézier de degré 1 : • Soit M1 (t) le barycentre de (A, 1 − t)(B, t)

surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1 Algorithme de de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3 Raccords entre des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

algébriques fondamentaux 1.1 Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Structures algébriques fondamentales . . . . . . . 1.3 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement 1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . 1.6 Topologie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

racines carrées, équations …………………………....9 3. Droites dans le plan …………………………………………………...............23 4. Vecteurs dans le plan ………………………………………………........…...28 5. Relations dans le triangle – Pythagore – Thalès ………………………....….34 6. Fonctions polynômes et homographiques ……………….…………….....….42 7. Fonction logarithme et exponentielle …………………………………...……56 8. Fonctions circulaires (sin, cos, tan, cercle trigonométrique) ……….……….60 9. Courbes paramétrées …………………………………………………..…...…65 10. Calcul vectoriel

............................................................................................ 25 Module “Modélisation géométrique 1” ................................................................................ 26 Courbes de Bézier et polynômes de Bernstein ................................................. 26 Courbes de Bézier : autres modèles.................................................................. 30 Module “Représentation de l’espace” ............................................

` Exercice 2: Soit f la fonction donn´ par f ( x ) = ∑n=0 ak cos(kx ) + bk sin(kx ) ou ak ∈ e k R. 1. On suppose que f s’annule en 2n + 1 points distincts de [0, 2π [. Montrer que f ≡ 0 et que ak = bk = 0 pour tout k. ˆ Indication: Consid` rer un polynome de degr´ 2n en eix . e e 2. On suppose ici que f (0) = sup f ( x ) > n | f ( x )| x ∈R et on pose g( x ) = 1 n f (0) sin(nx ) − f ( x ) (2k+1)π a) Montrer que g s’annule 2n fois sur [0, 2π [. (Consid´ rer les points 2n ) et e que g

. 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Division euclidienne 5 1.2.3 Théorème de Weierstrass 1.3 Polynômes de Lagrange 1.4 Polynômes de Newton 1.5 * Polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

courbe paramétrée . . . . . . . . . . . 15.2 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Une problème « historique »... . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Modèle de Riesenfeld . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.2 Modèle de