Polynôme de Tchebychev

hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi

composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.

Approximation hilbertienne et polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . 100 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7 L’approximation hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 103 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Les polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . .

Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . 4 Approximation polynômiale. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Méthode d'interpolation de Lagrange. Méthode des diérences divisées. . . . Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . Interpolation de Tchebychev. . . . . . Interpolation par intervalles. . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay L’anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une

Chapitre 5 Probabilités et variables aléatoires sur un univers fini Exercice 0 : Questions de cours 1/ Formule des probabilités composées 2/ Formule de Bayes 3/ Formule des probabilités totales 4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev 5/ Théorème de transfert 6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type 7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type 8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire qui consiste

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximation Polynomiale 2.1 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . 2.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . 2.3 Forme de Newton . . . . . . . . . . 2.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . 2.4.1 Polynômes de Legendre . . 2.4.2 Polynômes de Tchebychev . 2.5 Approximation par Moindres Carrés 2.6 Meilleure Approximation . . . . . . 2.7 Oscillations de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener. Les fonctions de Bessel, chapitre 7, et les polynômes orthogonaux, chapitre 8, sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles (chapitre 9). Cet ouvrage ne prétend pas à l’exhaustivité et certains domaines des mathématiques