Polynôme symétrique

l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1 Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0, pour tout x appartenant

fonction f est surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck

fonction du courant x. Les r´sultats e e suivants sont obtenus: (1) Quel est le degr´ du polynome d’interpolation? e (2) Compl´tez le tableau des diff´rences divis´es e e e ci-contre et donnez le polynome p(x) sous la forme de Newton. Ecrivez le polynome sous la forme de Horner et calculez p(2.17). i x (Amp.) y (Volts) 0 0.25 1 2 0.75 1.25 0.7 −0.45 −0.6 x y (3) Ecrivez le polynome d’interpolation sous forme standard. Exercice 7 (25pts) Integration num´rique. e Le tableau

une bille de rayon x avec une hauteur 2x d'eau V(x)=piR².2x - 4/3.pi.x³ V(x)-V0= piR².2x - 4/3.pi.x³ -piR²h+1/6pih³ =4/3pi(3/2R²x -x³-3/4R²h+3/24h³) avec R=8 et h=10 =4/3pi(96x - x³ - 355) Tu sais que V(5)=V0 donc f(5)=0. Comme f est un polynome, tu peux mettre (x-5) en facteur (x-5)(ax²+bx+c)=ax³ +(b-5a)x² + (c-5b)x -5c Il faut que ça soit égal à 96x - x³ - 355, donc égaliser les coeeficients un à un . a=-1 b=-5 c=71 --> f(x) = 4/3 pi (x-5)(-x² -5x + 71) f(x)=0 si l'un des deux

Cette partie on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2 1 L1 L2 L3 2 1 X 1

fonction cumulative de Hilbert de M = n≥0 Mn est défini par la fonction numérique n → H ∗ (M, n) = 0≤i≤n H(M, i) 2.1.2 Définition Soit d ≥ −1 un entier. Une fonction numérique ϕ : Z → Z est dite de type polynomial de dégré d s’il existe un polynôme P ∈ Q[X] de dégré d tel 7 que : ϕ(n) = P (n) ∀n 0. Par convention le polyôme nul est de dégré −1. 2.1.3 Théorème de Hilbert Soit A = n≥0 An un anneau noéthérien gradué à dégrés positifs de la forme A = A0 [x1 , x2 , ..., xr ] où chaque

génératrices des codes C6,3 et C7,4 ayant le même générateur g(x). 18. : Code polynomial Soit C5,3 le code polynomial engendré par le polynôme g(x) = x2+1. a. Construire le code par codage systématique 19. : Code polynomial Soit C5,3 le code polynomial engendré par le polynôme g(x) = x2. a. Construire le code par codage systématique. b. Tout polynôme de code s'écrivant : [pic] montrer que les erreurs de poids 1 situées sur les bits c4 et c5 sont détectées et que les autres erreurs de poids

identit´ e e se notera In . Pour toute matrice A de Mn (C), tA d´ signe la matrice transpos´ e de A, Sp(A) repr´ sente le e e e ` spectre de A (c’est a dire l’ensemble de ses valeurs propres), Tr (A) d´ signera sa trace et rg (A) son e ˆ rang. Le polynome caract´ ristique de A se notera χA , il est d´ fini par e e ∀ λ ∈ C, ´ Epreuve de Math´ matiques II e χA (λ) = det(A − λ In ) . 1/3 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2006 – PSI Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1

fonction hl telle que AhI = h et simplifier l’expression de 5 8. k=n 1.5. Montrer que : k$nf(k)(Ag)(k) 2 kc” . k=n = (fd(P+ 1) - (fg)(n) - kcng(k + l)(Af)(k). 1.6. En déduire T.S.V.P. 2. Polynômes factoriels. Pour tout entier naturel n, on note E, l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré = 1 et pour tout k, entier naturel non nul, on note inférieur ou égal à 72. On pose F&) F~@E) =+-l).+~k+l). 2.1. Soit n E N. Montrer que (Fo, . . . , F,) est une base de E,. que

Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d’apprendre ` a e o • effectuer des op´rations dans l’ensemble des polynˆmes, • utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆmes, dans la simplification des fractions o rationnelles et dans la r´solution d’´quations, e e • utiliser la m´thode des coefficients ind´termin´s lors de la r´solution de certaines applications. e e e e 3.2 3.2.1 Vocabulaire(Rappels) Monˆmes o  e  a est un coefficient r´el (a ∈ IR);