Polynôme symétrique

Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Approximation de aire() 172663_C07_prof_ g01 Avec une Casio 172663_C07_prof_ g02 Avec une Texas Instruments ∀x ∈ [0 ; 1] , f ( x ) + g ( x ) = 1 d’où : f ( x) + g( x) 1 = . 2 2 Ainsi les deux courbes sont symétriques par rapport à la 1 droite d’équation y = . 2 Les domaines notés j et k sont symétriques donc ont la même aire. Ainsi aire( ) = 1 − 2 × aire (j). y 1 2 1 y=— 2 © Nathan 2012 – Transmath Term. S Pour N = 1000 , S est une valeur par excès de aire() à 0, 001 près . Affichage : S = 0

où Eb est l'énergie reçue par bit et No/2 la densité spectrale du bruit gaussien. On comparera également ces résultats aux théoriques lorsqu'ils seront disponibles. La modélisation de la chaîne s'est faite par blocs symétriques. On implémentait un bloc et simultanément son symétrique en réception. On part du centre de la chaîne pour en revenir à ses extrémités. Ainsi on ajoute progressivement de la complexité et cela nous permet de vérifier étapes par étapes le bon fonctionnement de la modélisation

valeur propre étant positive (propriété de R matrice symétrique dé�nie positive) on doit avoir −1 ≤ ρ ≤ 1 2 . 2. Pour déterminer les autres éléments propres de R, on résout det (R− λI) = 0, ce qui équivaut à (1− λ) ( (1− λ)2 − ρ2 ) − 2ρ2 (1− λ+ ρ) = 0 (1− λ+ ρ) [ (1− λ) (1− λ− ρ)− 2ρ2 ] = 0 (1− λ+ ρ) [ λ2 − λ (2− ρ) + 1− ρ− 2ρ2 ] = 0 On sait que λ1 = 1 − 2ρ est valeur propre de R. Ceci permet de calculer par identi�cation la racine du polynôme ci-dessus. On montre que λ = 1 + ρ est racine double

= In et ©p 6= 0n : Le vecteur (n; 1) des innovations "t est i:i:d: (0n ; -) où - est une matrice (n; n) symétrique dé…nie positive. Le processus vectoriel des innovations f"t ; t 2 Zg est i:i:d: (0n ; -), et satisfait par conséquent les propriétés suivantes : E ("t ) = 0 ½ ¡ 0 ¢ - j=0 E "t "t¡j = 0 j 6= 0 P1 (1.11) (1.10) De la même façon que pour un AR (1), on peut donc exprimer le polynôme matriciel © (L), de dimension (n; n), de la façon suivante : X1 © (L) = ©i Li = In + ©1 L ¡ ©2 L2 ¡ :::

tel que P n ( j , k) > 0, µ est invariante par P n , d’où : ∀ j ∈ E, 0 = µk = i ∈E µi P n (i , k) ≥ µ j P n ( j , k) donc µ j = 0 soit λ = νk . Remarque : l’hypothèse λ mesure positive est essentielle pour l’unicité : la promenade aléatoire symétrique sur Z est récurrente irréductible mais l’équation λ P = λ admet pour solutions les vecteurs ligne de la forme (λi = A + Bi )i ∈Z (voir exercice ), c’est la condition λ ≥ 0 sur Z qui impose B = 0 et fait que cette chaîne n’a que les mesures constantes

Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle et Dominique Goyette Table des matières Introduction Chapitre 1. Quelques rappels 1. Les ensembles 2. Arithmétique sur les nombres réels 3. Les polynômes Chapitre 2. Équations et inéquations 1. Les équations 2. Les fractions algébriques 3. Intervalles et inéquations Chapitre 3. Étude graphique de fonctions Introduction 1. Éléments de l’étude des fonctions 2. Opérations sur les fonctions 3. Rôle des paramètres a, b, h

k = (B t At )i,j . Enfin, si A est inversible alors AA−1 = Id. Donc (AA−1 )t = (Id)t = Id. Par le point précédent, (AA−1 )t = (A−1 )t At . Donc At est inversible et (At )−1 = (A−1 )t . Définition 2.15 (Matrices symétrique et antisymétrique) Soit A ∈ Mn,n (K), on dit que A est symétrique si At = A et antisymétrique si At = −A. Définition 2.16 (Matrice de permutation) Soit P ∈ Mn (R). On dit que P est une matrice de permutation si P a exactement un coefficient égal à 1 dans chaque ligne et chaque colonne

f(x) ) et (- x , f(- x) = f(x) = y) sont symétriques par rapport à l’axe des y, et ils sont tous les deux sur la courbe de f . La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe vertical. L’avantage est que l’on peut se contenter d’étudier 1 la fonction pour x≥ 0. • On dit que la fonction est impaire si l’on a f(- x) = - f(x) pour tout x de Df. Cela signifie que les points de la courbe (x , y=f(x)) et (- x , f(-x)= -f(x)= -y) sont symétriques par rapport au point O. Là encore, on

CANONIQUE DU TRINÔME 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0 Remarque : Le coefficient a est parfoit appelé le coefficient quadratique. Exemple : Les trois polynômes suivants sont des trinômes : P1(x) = x2 + 2x − 8 , P2(x) = 2x2 + 3x − 14 , P3(x) = −x2 + 4x − 5 1.2 Quelques exemples de formes canoniques La forme canonique